Uma andarilha começa uma viagem de dois dias caminhando inicialmente 25,0 km na direção sudeste (45^circ) a partir de seu carro. Ela pára e monta sua barraca para a noite. No segundo dia ela caminha 40,0 km em uma direção 60,0^circ ao norte do leste, ponto em que ela descobre uma torre do guarda-florestal. (a) Determine as componentes dos deslocamentos da andarilha no primeiro e no segundo dias. (b) Determine as componentes do deslocamento total, o módulo e a direção do deslocamento total da andarilha para a viagem

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma andarilha que fez duas caminhadas em direções diferentes. No primeiro dia, ela caminhou 25 km para sudeste, que é a 45 graus. No segundo dia, ela caminhou 40 km em uma direção de 60 graus ao norte do leste. Vamos usar vetores para dividir esses deslocamentos em componentes x (leste) e y (norte). Para isso, vamos precisar de trigonometria básica: seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes do primeiro deslocamento de 25 km na direção sudeste (45°). Sudeste significa que ela está indo igual rumo a leste e ao sul. Mas, para manter o sistema de coordenadas onde norte é positivo no eixo y, sul será negativo.
Usamos as fórmulas:
x = d cdot cos(theta)
y = d cdot sin(theta)
Aqui, x1 = 25 cdot cos(45°) approx 25 cdot 0,7071 approx 17,68 , km e y1 = 25 cdot sin(45°) approx 25 cdot 0,7071 approx 17,68 , km .
Calculando:
y1 = -17,68 , km
Como é sudeste, a direção y será negativa:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo deslocamento de 40 km em 60° ao norte do leste. Isso significa que ela está caminhando 60 graus acima do eixo leste (x positivo).
Usamos as mesmas fórmulas:
x = d cdot cos(theta)
y = d cdot sin(theta)
Aqui, x2 = 40 cdot cos(60°) = 40 cdot 0,5 = 20 , km e y2 = 40 cdot sin(60°) approx 40 cdot 0,8660 approx 34,64 , km .
Calculando:

Passo 4

Agora que temos as componentes dos dois deslocamentos, vamos para o item (a):
Componentes do primeiro dia:
x1 = 17,68 , km (<=ste)
y1 = -17,68 , km (sul)
Componentes do segundo dia:
x2 = 20 , km (<=ste)
y2 = 34,64 , km (norte)

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Primeiro, somamos as componentes x e y para encontrar o deslocamento total.
xtotal = x1 + x2 = 17,68 + 20 = 37,68 , km
ytotal = y1 + y2 = -17,68 + 34,64 = 16,96 , km

Passo 6

Para encontrar o módulo do deslocamento total, usamos o teorema de Pitágoras:
dtotal = raizxtotal^2 + ytotal^2 = raiz37,68^2 + 16,96^2
Calculando:
dtotal = raiz1415,52 + 287,23 = raiz1702,75 approx 41,25 , km

Passo 7

Para encontrar a direção do deslocamento total, calculamos o ângulo θ em relação ao leste usando a tangente:
tan(theta) = ytotalxtotal = 16,9637,68 approx 0,45
theta = arctan(0,45) approx 24,23°
Então, a direção é aproximadamente 24,23° ao norte do leste.

Resposta

(a) Componentes dos deslocamentos:
  • Primeiro dia: (leste), (sul)
  • Segundo dia: (leste), (norte)
(b) Deslocamento total:
  • Componentes: ,
  • Módulo:
  • Direção: aproximadamente ao norte do leste

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