Anderson tem em sua coleção de miniaturas entre 150 e 200 carrinhos. Se os enfileirar de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre sobrarão 3 carrinhos. Quantos carrinhos Anderson tem em sua coleção? *
a) 183
b) 184
c) 190
d) 192

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. O Anderson tem entre 150 e 200 carrinhos. Quando ele tenta organizar os carrinhos de 12, 15 ou 20 em fila, sempre sobra 3 carrinhos. Nosso objetivo é descobrir exatamente quantos carrinhos ele tem na coleção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de divisibilidade e o cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC).

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que significa ter sempre 3 carrinhos sobrando quando organizados de 12, 15 ou 20 em fila. Isso quer dizer que o número total de carrinhos menos 3 é divisível por 12, 15 e 20. Ou seja:
Número Total - 3 equiv 0 pmod12 ú
Número Total - 3 equiv 0 pmod15 ú
Número Total - 3 equiv 0 pmod20 ú

Passo 3

Essa situação significa que Número Total - 3ú é um múltiplo comum de 12, 15 e 20. Para encontrar esse múltiplo, precisamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) desses três números.

Passo 4

Vamos calcular o MMC de 12, 15 e 20:
  • Fatoração de 12: 2^2 times 3
  • Fatoração de 15: 3 times 5
  • Fatoração de 20: 2^2 times 5
O MMC é o produto dos fatores primos elevados às maiores potências presentes:
MMC = 2^2 times 3 times 5 = 4 times 3 times 5 = 60

Passo 5

Então, Número Total - 3ú deve ser múltiplo de 60. Podemos representar isso como:
Número Total - 3 = 60 times k ú
Onde k é um número inteiro.

Passo 6

Assim, o Número Total é:
Número Total = 60k + 3 ú
Agora, sabemos que o número está entre 150 e 200:
150 < 60k + 3 < 200

Passo 7

Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de k:
150 < 60k + 3 Rightarrow 147 < 60k Rightarrow k > 2.45
60k + 3 < 200 Rightarrow 60k < 197 Rightarrow k < 3.28
Como k deve ser inteiro, a única opção é k = 3.

Passo 8

Substituindo k = 3 na equação do Número Total:
Número Total = 60 times 3 + 3 = 180 + 3 = 183 ú

Resposta

O Anderson tem 183 carrinhos em sua coleção. (Opção a)

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