Um anel de carga de raio a e centro na origem está sobre o plano yz de modo que seu eixo está ao longo da direção x. Mostre que o valor máximo do campo elétrico sobre o eixo do anel ocorre em x=a / 21 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel carregado com raio e centro na origem, que está colocado no plano , ou seja, seu eixo é ao longo da direção . O que queremos é encontrar o ponto ao longo desse eixo onde o campo elétrico gerado pelo anel é máximo. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado e usar um pouco de cálculo para achar onde esse campo atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico na direção do eixo E(x) = 14piepsilon0 cdot Qx(x^2 + a^2)^3/2 para um anel de carga. A fórmula geral para o campo elétrico no eixo de um anel carregado é:
Aqui, é a carga total do anel, é a permissão do vácuo, é a distância ao longo do eixo, e é o raio do anel.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde o campo elétrico é máximo, precisamos derivar a expressão de dEdx = 14piepsilon0 cdot Q cdot (x^2 + a^2)^3/2 - x cdot 32(x^2 + a^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + a^2)^3 em relação a dEdx = 14piepsilon0 cdot Q cdot a^2 - 2x^2(x^2 + a^2)^5/2 e igualar a derivada a zero. Vamos derivar:
Simplificando a derivada:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para achar o valor de a^2 - 2x^2 = 0 Rightarrow 2x^2 = a^2 Rightarrow x^2 = a^22 Rightarrow x = araiz2 que maximiza :

Resposta

O valor máximo do campo elétrico ocorre em .

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