Um anel de carga de raio a e centro na origem está sobre o plano yz de modo que seu eixo está ao longo da direção
. Mostre que o valor máximo do campo elétrico sobre o eixo do anel ocorre em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel carregado com raio
e centro na origem, que está colocado no plano
, ou seja, seu eixo é ao longo da direção
. O que queremos é encontrar o ponto
ao longo desse eixo onde o campo elétrico gerado pelo anel é máximo. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado e usar um pouco de cálculo para achar onde esse campo atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico na direção do eixo
para um anel de carga. A fórmula geral para o campo elétrico
no eixo de um anel carregado é:
Aqui,
é a carga total do anel,
é a permissão do vácuo,
é a distância ao longo do eixo, e
é o raio do anel.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde o campo elétrico é máximo, precisamos derivar a expressão de
em relação a
e igualar a derivada a zero. Vamos derivar:
Simplificando a derivada:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para achar o valor de
que maximiza
:
Resposta
O valor máximo do campo elétrico ocorre em
.