Um dipolo elétrico está sobre o eixo dos y com a carga positiva +q localizada em y-a e a carga -q em y=-a. Mostre que para pontos distantes as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por: E x=[1 /(40)] 3 p x y /(x 2+y 2) 5 / 2 e E y=[1 /(4 pi varepsilon 0)] p(2 y 2-x 2) /(x 2+y 2) 52 onde p é o momento de dipolo elétrico.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Temos um dipolo elétrico posicionado ao longo do eixo y. Isso significa que temos uma carga positiva +q localizada em Ex = [14 pi varepsilon0] 3 p x y(x^2 + y^2)^5/2 e uma carga negativa -q em Ey = [14 pi varepsilon0] p (2 y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^5/2 . O objetivo é mostrar que, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por:
Conteúdo da Matéria:
  • Campo elétrico de cargas puntiformes.
  • Dipolo elétrico e seu momento dipolar .
  • Aproximação para pontos distantes (onde a distância do ponto ao dipolo é muito maior que a separação das cargas).
O que Vamos Precisar:
  • Fórmulas do campo elétrico produzido por uma carga.
  • Conceito de dipolo elétrico.
  • Cálculo vetorial das componentes do campo elétrico.

Passo 2

Definindo o Momento Dipolar p = q cdot 2a cdot y = 2a q y
O momento dipolar elétrico é definido como o produto da carga e a distância que a separa. Para nosso dipolo:
Aqui, é o vetor unitário na direção y.

Passo 3

Expressando o Campo Elétrico de Cada Carga
O campo elétrico E = 14 pi varepsilon0 cdot qr^2 cdot r devido a uma carga puntiforme é dado por:
Onde:
  • é a carga.
  • é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a carga.
  • é o vetor unitário que aponta da carga para o ponto.

Passo 4

Calculando as Distâncias e Vetores Unitários
Para um ponto r+ = raizx^2 + (y - a)^2 no plano xy, a distância até a carga positiva em r- = raizx^2 + (y + a)^2 é:
E a distância até a carga negativa em é:
Os vetores unitários e apontam das cargas para o ponto .

Passo 5

Aproximação para Pontos Distantes ( )
Quando os pontos estão muito distantes do dipolo, podemos aproximar , onde . Além disso, podemos expandir os termos em série para simplificar as expressões.

Passo 6

Somando os Campos Elétricos das Duas Cargas
O campo total E = E+ + E- no ponto é a soma dos campos devido à carga positiva e negativa:
Onde é o campo devido à carga positiva e o devido à negativa.

Passo 7

Expandindo as Expressões e Simplificando
Aplicando a aproximação e realizando expansões, obtemos que o campo total do dipolo pode ser expressado em termos do momento dipolar . As componentes e resultam das projeções dos vetores campo nas direções x e y.

Passo 8

Derivando as Componentes Ex = [14 pi varepsilon0] 3 p x y(x^2 + y^2)^5/2 e Ey = [14 pi varepsilon0] p (2 y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^5/2
Após simplificações, as componentes do campo elétrico tornam-se:
Explicação:
  • depende da interação entre as coordenadas x e y, refletindo a simetria do dipolo.
  • mostra como o campo varia ao longo do eixo y, influenciado pelo alinhamento do dipolo.

Resposta

Portanto, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são:
Ex = [14 pi varepsilon0] 3 p x y(x^2 + y^2)^5/2
Ey = [14 pi varepsilon0] p (2 y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^5/2

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