Um dipolo elétrico está sobre o eixo dos y com a carga positiva +q localizada em
e a carga -q em
. Mostre que para pontos distantes as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por:
e
onde p é o momento de dipolo elétrico.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Temos um dipolo elétrico posicionado ao longo do eixo y. Isso significa que temos uma carga positiva +q localizada em
e uma carga negativa -q em
. O objetivo é mostrar que, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por:
Conteúdo da Matéria:
- Campo elétrico de cargas puntiformes.
- Dipolo elétrico e seu momento dipolar
. - Aproximação para pontos distantes (onde a distância do ponto ao dipolo é muito maior que a separação das cargas).
O que Vamos Precisar:
- Fórmulas do campo elétrico produzido por uma carga.
- Conceito de dipolo elétrico.
- Cálculo vetorial das componentes do campo elétrico.
Passo 2
Definindo o Momento Dipolar
O momento dipolar elétrico
é definido como o produto da carga e a distância que a separa. Para nosso dipolo:
Aqui,
é o vetor unitário na direção y.
Passo 3
Expressando o Campo Elétrico de Cada Carga
O campo elétrico
devido a uma carga puntiforme é dado por:
Onde:
-
é a carga. -
é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a carga. -
é o vetor unitário que aponta da carga para o ponto.
Passo 4
Calculando as Distâncias e Vetores Unitários
Para um ponto
no plano xy, a distância até a carga positiva em
é:
E a distância até a carga negativa em
é:
Os vetores unitários
e
apontam das cargas para o ponto
.
Passo 5
Aproximação para Pontos Distantes (
)
Quando os pontos estão muito distantes do dipolo, podemos aproximar
, onde
. Além disso, podemos expandir os termos em série para simplificar as expressões.
Passo 6
Somando os Campos Elétricos das Duas Cargas
O campo total
no ponto
é a soma dos campos devido à carga positiva e negativa:
Onde
é o campo devido à carga positiva e
o devido à negativa.
Passo 7
Expandindo as Expressões e Simplificando
Aplicando a aproximação
e realizando expansões, obtemos que o campo total do dipolo pode ser expressado em termos do momento dipolar
. As componentes
e
resultam das projeções dos vetores campo nas direções x e y.
Passo 8
Derivando as Componentes
e
Após simplificações, as componentes do campo elétrico tornam-se:
Explicação:
-
depende da interação entre as coordenadas x e y, refletindo a simetria do dipolo. -
mostra como o campo varia ao longo do eixo y, influenciado pelo alinhamento do dipolo.
Resposta
Portanto, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são: