Considere uma partícula em um movimento hiperbólico (vista por um observador em um referencial inercial
)
Encontre a velocidade ordinária
e a 4 -velocidade
como funções de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo de um jeito meio especial, chamado de movimento hiperbólico, num referencial que a gente chama de
. O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo:
O que a gente precisa encontrar são duas coisas:
- A velocidade ordinária
, que é como a gente normalmente pensa na velocidade, ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo. - A 4-velocidade
, que é um conceito da relatividade especial que combina a velocidade ordinária com o tempo de uma forma que respeita as leis da física quando estamos lidando com velocidades próximas à da luz.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo (diferenciação) e de relatividade especial, como a definição da 4-velocidade e o fator de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade ordinária
. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo.
Dado que:
Vamos derivar
em relação a
:
Para derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Aplicando isso:
Como
e
são constantes (sempre zero), suas derivadas são zero.
Então, a velocidade ordinária é:
Passo 3
Agora, vamos para a 4-velocidade
. Na relatividade especial, a 4-velocidade é definida como:
Onde:
-
é o fator de Lorentz, dado por -
é a velocidade ordinária que acabamos de encontrar.
Primeiro, precisamos calcular
:
Agora, calculamos o fator de Lorentz
:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
fica:
Agora, substituindo
e
na definição da 4-velocidade:
Multiplicando
por cada componente:
- Componente temporal:
- Componente espacial
:
- Componentes
e são zero.
Então, a 4-velocidade fica:
Resposta
A velocidade ordinária e a 4-velocidade da partícula em função do tempo
são, respectivamente:
e