Considere uma partícula em um movimento hiperbólico (vista por um observador em um referencial inercial S )
x(t)=raizb^2+c^2 t^2, y=z=0, b in R
Encontre a velocidade ordinária u e a 4 -velocidade eta como funções de t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo de um jeito meio especial, chamado de movimento hiperbólico, num referencial que a gente chama de S. O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo:
x(t) = raizb^2 + c^2 t^2, y = z = 0
O que a gente precisa encontrar são duas coisas:
  1. A velocidade ordinária u, que é como a gente normalmente pensa na velocidade, ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo.
  2. A 4-velocidade eta, que é um conceito da relatividade especial que combina a velocidade ordinária com o tempo de uma forma que respeita as leis da física quando estamos lidando com velocidades próximas à da luz.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo (diferenciação) e de relatividade especial, como a definição da 4-velocidade e o fator de Lorentz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade ordinária u. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo.
Dado que:
x(t) = raizb^2 + c^2 t^2, y = z = 0
Vamos derivar x(t) em relação a t:
dxdt = ddt ( raizb^2 + c^2 t^2 )
Para derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia. A derivada de raizf(t) é 12raizf(t) cdot f'(t).
Aplicando isso:
dxdt = 12raizb^2 + c^2 t^2 cdot 2c^2 t = c^2 traizb^2 + c^2 t^2
Como y e z são constantes (sempre zero), suas derivadas são zero.
Então, a velocidade ordinária é:
u = ( c^2 traizb^2 + c^2 t^2, ; 0, ; 0 )

Passo 3

Agora, vamos para a 4-velocidade eta. Na relatividade especial, a 4-velocidade é definida como:
eta = gamma ( c, u )
Onde:
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - |u|^2c^2
  • u é a velocidade ordinária que acabamos de encontrar.
Primeiro, precisamos calcular |u|^2:
|u|^2 = ( c^2 traizb^2 + c^2 t^2 )^2 = c^4 t^2b^2 + c^2 t^2
Agora, calculamos o fator de Lorentz gamma:
gamma = 1raiz1 - |u|^2c^2 = 1raiz1 - c^4 t^2c^2 (b^2 + c^2 t^2) = 1raiz1 - c^2 t^2b^2 + c^2 t^2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 - c^2 t^2b^2 + c^2 t^2 = b^2 + c^2 t^2 - c^2 t^2b^2 + c^2 t^2 = b^2b^2 + c^2 t^2
Então, gamma fica:
gamma = 1raizb^2b^2 + c^2 t^2 = raizb^2 + c^2 t^2b^2 = raizb^2 + c^2 t^2b
Agora, substituindo gamma e u na definição da 4-velocidade:
eta = gamma ( c, u ) = raizb^2 + c^2 t^2b ( c, c^2 traizb^2 + c^2 t^2, 0, 0 )
Multiplicando gamma por cada componente:
  • Componente temporal:
raizb^2 + c^2 t^2b cdot c = c raizb^2 + c^2 t^2b
  • Componente espacial x:
raizb^2 + c^2 t^2b cdot c^2 traizb^2 + c^2 t^2 = c^2 tb
  • Componentes y e z são zero.
Então, a 4-velocidade fica:
eta = ( c raizb^2 + c^2 t^2b, ; c^2 tb, ; 0, ; 0 )

Resposta

A velocidade ordinária e a 4-velocidade da partícula em função do tempo t são, respectivamente:
u = ( c^2 traizb^2 + c^2 t^2, ; 0, ; 0 )
e
eta = ( c raizb^2 + c^2 t^2b, ; c^2 tb, ; 0, ; 0 )

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