Uma esfera de raio com uma região esférica oca em seu interior de raio possui densidade volumétrica de carga uniforme em seu volume. Sabendo que o centro da região oca está a uma distância do centro da esfera em que está contida, determine o campo elétrico no centro da parte oca.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera com uma cavidade dentro dela. Especificamente, temos uma esfera de raio que possui uma região oca esférica de raio no seu interior. A densidade volumétrica de carga dessa esfera é uniforme e representada por . A cavidade não está centralizada; ou seja, o centro da cavidade está a uma distância do centro da esfera grande. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro dessa cavidade.
Vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente pode ser calculado usando a Lei de Gauss. Para uma esfera com carga uniforme, o campo dentro dela a uma distância do centro é dado por:
onde:
  • é a densidade de carga volumétrica,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o vetor posição em relação ao centro da esfera.

Passo 3

Agora, como temos uma cavidade dentro da esfera, podemos pensar nessa situação usando o princípio da superposição. Isso significa que o campo elétrico resultante será a combinação do campo devido à esfera completa menos o campo que seria gerado pela cavidade se ela estivesse preenchida com carga.
Em outras palavras:

Passo 4

Vamos analisar cada termo:
  1. Campo da esfera completa: Se a cavidade não existisse, o campo no ponto onde está o centro da cavidade (a distância do centro da esfera) seria:
onde é o vetor unitário na direção de .
  1. Campo da cavidade: A cavidade pode ser tratada como uma esfera de carga negativa (já que está “retirando” carga da esfera grande). O campo que essa cavidade produziria no seu próprio centro seria:

Passo 5

Agora, aplicando a superposição:
Aqui, percebemos que as partes com se cancelam parcialmente, resultando em:

Resposta

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