Uma esfera de raio
com uma região esférica oca em seu interior de raio
possui densidade volumétrica de carga
uniforme em seu volume. Sabendo que o centro da região oca está a uma distância
do centro da esfera em que está contida, determine o campo elétrico no centro da parte oca.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera com uma cavidade dentro dela. Especificamente, temos uma esfera de raio
que possui uma região oca esférica de raio
no seu interior. A densidade volumétrica de carga dessa esfera é uniforme e representada por
. A cavidade não está centralizada; ou seja, o centro da cavidade está a uma distância
do centro da esfera grande. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro dessa cavidade.
Vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente pode ser calculado usando a Lei de Gauss. Para uma esfera com carga uniforme, o campo dentro dela a uma distância
do centro é dado por:
onde:
-
é a densidade de carga volumétrica, -
é a permissividade do vácuo, -
é o vetor posição em relação ao centro da esfera.
Passo 3
Agora, como temos uma cavidade dentro da esfera, podemos pensar nessa situação usando o princípio da superposição. Isso significa que o campo elétrico resultante será a combinação do campo devido à esfera completa menos o campo que seria gerado pela cavidade se ela estivesse preenchida com carga.
Em outras palavras:
Passo 4
Vamos analisar cada termo:
- Campo da esfera completa: Se a cavidade não existisse, o campo no ponto onde está o centro da cavidade (a distância
do centro da esfera) seria:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
- Campo da cavidade: A cavidade pode ser tratada como uma esfera de carga negativa (já que está “retirando” carga da esfera grande). O campo que essa cavidade produziria no seu próprio centro seria:
Passo 5
Agora, aplicando a superposição:
Aqui, percebemos que as partes com
se cancelam parcialmente, resultando em:
Resposta
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e
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.
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Resposta:
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