Uma barra fina de comprimento está posicionada ao longo do eixo , e possui uma carga distribuída ao longo do seu comprimento com distribuição linear . Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado: no eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra fina de comprimento posicionada ao longo do eixo com uma distribuição de carga linear . Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico no ponto , que também está no eixo . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a integração de campos elétricos devido a distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal da barra, com comprimento , localizado em uma posição no eixo . A carga desse elemento é .

Passo 3

O campo elétrico gerado por esse elemento de carga no ponto é dado pela Lei de Coulomb:
onde é a permissividade do vácuo, é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Como o ponto está no eixo , a direção do campo elétrico será ao longo de . Portanto, não precisamos nos preocupar com componentes perpendiculares que se cancelariam simetricamente.

Passo 5

Expressando a distância entre o elemento de carga e , se está a uma distância do início da barra, então:

Passo 6

Substituindo na expressão do campo:

Passo 7

Para encontrar o campo total , integramos ao longo do comprimento da barra. Assumindo que a barra vai de a :

Passo 8

Resolvendo a integral:

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto é dado por:

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