Uma barra fina de comprimento L está posicionada ao longo do eixo y, e possui uma carga distribuída ao longo do seu comprimento com distribuição linear lambda. Determine o vetor campo elétrico em um ponto P localizado: no eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra fina de comprimento posicionada ao longo do eixo com uma distribuição de carga linear . Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico no ponto , que também está no eixo . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a integração de campos elétricos devido a distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal da barra, com comprimento , localizado em uma posição no eixo . A carga desse elemento é .

Passo 3

O campo elétrico gerado por esse elemento de carga no ponto dE = 14piepsilon0 dqr^2 r é dado pela Lei de Coulomb:
onde é a permissividade do vácuo, é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Como o ponto está no eixo , a direção do campo elétrico será ao longo de . Portanto, não precisamos nos preocupar com componentes perpendiculares que se cancelariam simetricamente.

Passo 5

Expressando a distância r = yp - y entre o elemento de carga e , se está a uma distância do início da barra, então:

Passo 6

Substituindo dE = 14piepsilon0 lambda , dy(yp - y)^2 na expressão do campo:

Passo 7

Para encontrar o campo total E = lambda4piepsilon0 integral0^L dy(yp - y)^2 , integramos ao longo do comprimento da barra. Assumindo que a barra vai de a :

Passo 8

Resolvendo a integral:
E = lambda4piepsilon0 [ -1yp - y ]0^L = lambda4piepsilon0 ( 1yp - 1yp - L )

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto E = lambda4piepsilon0 ( 1yp - 1yp - L ) y é dado por:

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