Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: um cilindro infinito de raio , uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico usando a Lei de Gauss! A gente precisa desenhar as linhas de campo e encontrar a expressão do campo elétrico gerado por um cilindro infinito com raio e densidade volumétrica de carga . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ():
Como temos um cilindro infinito com simetria cilíndrica, faz sentido usarmos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado.
Passo 3
Vamos escolher um cilindro gaussiano de raio e comprimento . Esse cilindro tem duas partes curvas e duas bases. Por simetria, o campo elétrico será radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície curva.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é perpendicular às áreas, mas como o campo é radial, não contribui para o fluxo. Então, só precisamos considerar a superfície curva:
Passo 5
Precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é e o volume do cilindro é , temos:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, igualamos o fluxo elétrico à carga interna dividida por :
Passo 7
Agora, vamos resolver para :
Passo 8
Esse resultado é válido para r menor que , ou seja, dentro do cilindro. Para r maior que , a carga interna é toda a carga do cilindro de raio , então:
E o campo elétrico fica:
Resposta
O campo elétrico gerado por um cilindro infinito uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga é dado por: