Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: um cilindro infinito de raio R0, uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga rho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico usando a Lei de Gauss! A gente precisa desenhar as linhas de campo e encontrar a expressão do campo elétrico gerado por um cilindro infinito com raio e densidade volumétrica de carga . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 ):
Como temos um cilindro infinito com simetria cilíndrica, faz sentido usarmos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado.

Passo 3

Vamos escolher um cilindro gaussiano de raio e comprimento . Esse cilindro tem duas partes curvas e duas bases. Por simetria, o campo elétrico será radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície curva.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é perpendicular às áreas, mas como o campo é radial, não contribui para o fluxo. Então, só precisamos considerar a superfície curva:
Phi = E cdot (2pi r L)

Passo 5

Precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é Qinterno = rho cdot pi r^2 L e o volume do cilindro é , temos:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, igualamos o fluxo elétrico à carga interna dividida por E cdot (2pi r L) = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0 :

Passo 7

Agora, vamos resolver para E = rho r2varepsilon0 :

Passo 8

Esse resultado é válido para r menor que Qinterno = rho cdot pi R0^2 L , ou seja, dentro do cilindro. Para r maior que E = rho R0^22varepsilon0 r , a carga interna é toda a carga do cilindro de raio , então:
E o campo elétrico fica:

Resposta

O campo elétrico gerado por um cilindro infinito uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga E(r) = rho r2varepsilon0 , r & para r <= R0 rho R0^22varepsilon0 r , r & para r > R0 é dado por:

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