Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: um cilindro infinito de raio , uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico usando a Lei de Gauss! A gente precisa desenhar as linhas de campo e encontrar a expressão do campo elétrico gerado por um cilindro infinito com raio e densidade volumétrica de carga . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Como temos um cilindro infinito com simetria cilíndrica, faz sentido usarmos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado.

Passo 3

Vamos escolher um cilindro gaussiano de raio e comprimento . Esse cilindro tem duas partes curvas e duas bases. Por simetria, o campo elétrico será radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície curva.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Nas bases do cilindro gaussiano, o campo elétrico é perpendicular às áreas, mas como o campo é radial, não contribui para o fluxo. Então, só precisamos considerar a superfície curva:

Passo 5

Precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é e o volume do cilindro é , temos:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, igualamos o fluxo elétrico à carga interna dividida por :

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Passo 8

Esse resultado é válido para r menor que , ou seja, dentro do cilindro. Para r maior que , a carga interna é toda a carga do cilindro de raio , então:
E o campo elétrico fica:

Resposta

O campo elétrico gerado por um cilindro infinito uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga é dado por:

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Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: um fio fino infinito carregado com densidade uniforme linear .
Encontre o campo elétrico a uma distância do centro de uma esfera sólida de raio uniformemente carregada, cuja carga total é , que tem uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante , para:
Uma barra fina de comprimento está posicionada ao longo do eixo , e possui uma carga distribuída ao longo do seu comprimento com distribuição linear . Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado: no eixo .
Um anel circular de raio , está posicionado no plano cartesiano e possui uma carga com distribuição linear . O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. Determine o vetor campo elétrico para .