Um anel circular de raio a, uniformemente carregado, encontra-se no plano z=0 centrado na origem. (a) Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico em um ponto com coordenadas (0,0, h) é dado por:
E=rhoL2 varepsilon0(a h(a^2+h^2)^3 / 2) z
(b) Para quais valores de h o vetor campo elétrico terá máxima intensidade. © Se a carga total do anel for Q, determine o vetor campo elétrico para a 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um anel circular de raio E = rhoL2 varepsilon0 ( a h(a^2 + h^2)^3/2 ) z , carregado uniformemente, localizado no plano e centrado na origem. O objetivo é demonstrar que o campo elétrico em um ponto com coordenadas é dado por:
Aqui, é a densidade linear de carga, e é a permissividade do vácuo. Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico e de integração ao longo de uma distribuição de carga.

Passo 2

Começamos lembrando que o campo elétrico dE = 14 pi varepsilon0 dq (r - r')|r - r'|^3 devido a uma carga pontual em uma posição é dado por:
Neste caso, é o ponto onde queremos calcular o campo, e percorre o anel.

Passo 3

Vamos parametrizar o anel usando coordenadas polares no plano r' = (a cos theta, a sin theta, 0) . Assim, um ponto qualquer no anel pode ser descrito por:
onde varia de a .

Passo 4

A diferença r - r' = (-a cos theta, -a sin theta, h) então fica:
|r - r'| = raiza^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta + h^2 = raiza^2 + h^2
E a distância é:
Note que, pela simetria do anel, a contribuição do campo nas direções e se cancelam, restando apenas a componente na direção .

Passo 5

A componente dEz = 14 pi varepsilon0 dq cdot h(a^2 + h^2)^3/2 do campo elétrico é então:
A densidade linear de carga está definida como , onde é a carga total do anel. Assim, .

Passo 6

Substituindo dEz = 14 pi varepsilon0 rhoL a h(a^2 + h^2)^3/2 dtheta na expressão de Ez = integral0^2pi dEz = rhoL a h4 pi varepsilon0 (a^2 + h^2)^3/2 integral0^2pi dtheta :
Para obter o campo total , integramos de a :

Passo 7

A integral de Ez = rhoL a h4 pi varepsilon0 (a^2 + h^2)^3/2 cdot 2pi = rhoL a h2 varepsilon0 (a^2 + h^2)^3/2 de a é simplesmente . Então:
Multiplicando pela direção , temos o vetor campo elétrico.

Resposta

O campo elétrico no ponto E = rhoL2 varepsilon0 ( a h(a^2 + h^2)^3/2 ) z é dado por:

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E=rhos2 varepsilon0(1-hraizr^2+h^2) z
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