Uma lamina fina 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, sobre o plano z=0, tem uma densidade de carga dada por rhos=x y(x^2+y^2+25)^3 / 2 nC / m^2. Determine: (a) a carga total da lamina; (b) o campo eletrico em ( 0,0,5 ); © a força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em ( 0,0,5 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lamina fina que está no plano , com dimensões de e . A densidade de carga dessa lamina é dada por nC/m². Precisamos encontrar três coisas: (a) a carga total da lamina, (b) o campo elétrico no ponto (0,0,5) e © a força que uma carga de -1 mC experimenta nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para a carga total e de eletrostática para o campo e a força elétrica.

Passo 2

(a) Carga total da lamina
Primeiro, para encontrar a carga total da lamina, a gente precisa integrar a densidade de carga Q = integral duplaA rhos , dA sobre toda a área da lamina. Isso significa calcular:
Q = integral0^1 integral0^1 x y (x^2 + y^2 + 25)^3/2 , dx , dy
Como a lamina está no plano e vai de a em e , nossos limites de integração são de 0 a 1 para ambas as variáveis.
Então, substituindo a expressão da densidade de carga:
Vamos resolver essa integral dupla.

Passo 3

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^1 x y (x^2 + y^2 + 25)^3/2 , dx :
u = x^2 + y^2 + 25 implies du = 2x , dx implies x , dx = du2
Para simplificar, fazemos uma substituição:
integraly^2 + 25^y^2 + 26 y cdot u^3/22 , du = y2 integraly^2 + 25^y^2 + 26 u^3/2 , du
Quando y2 [ 25 u^5/2 ]y^2 + 25^y^2 + 26 = y5 ( (y^2 + 26)^5/2 - (y^2 + 25)^5/2 ) , . Quando , .
Substituindo na integral:
Integrando :

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a Q = 15 integral0^1 y ( (y^2 + 26)^5/2 - (y^2 + 25)^5/2 ) , dy :
Essa integral pode ser resolvida numericamente, pois é complexa para uma solução analítica simples. Usando métodos de integração numérica ou uma calculadora apropriada, encontramos o valor de .

Passo 5

(b) Campo elétrico no ponto (0,0,5)
Para encontrar o campo elétrico E = 14piepsilon0 integral duplaA rhos , r|r|^3 , dA no ponto |r| = raizx^2 + y^2 + 25 , usamos a lei de Coulomb para distribuições contínuas:
E = 14piepsilon0 integral duplaA x y (x^2 + y^2 +25)^3/2 (-xi - yj + 5k)(x^2 + y^2 +25)^3/2 , dx , dy
Onde E = 14piepsilon0 integral duplaA x y (-xi - yj + 5k) , dx , dy é o vetor posição do ponto de observação em relação a cada ponto na lamina. No nosso caso, .
A magnitude de é:
Então, substituindo na expressão do campo:
Simplificando:

Passo 6

Observando essa expressão, percebemos que as componentes Ez = 14piepsilon0 integral0^1 integral0^1 5 x y , dx , dy e Ez = 54piepsilon0 ( integral0^1 x , dx ) ( integral0^1 y , dy ) = 54piepsilon0 ( 12 ) ( 12 ) = 516piepsilon0 serão integrais de funções ímpares sobre uma região simétrica (de 0 a 1), o que resulta em zero. Assim, só resta a componente :
Calculando:

Passo 7

© Força sobre uma carga de -1 mC em (0,0,5)
A força F = q E sobre uma carga F = -1 times 10^-3 times 516piepsilon0 k = -5 times 10^-316piepsilon0 k em um campo elétrico é dada por:
Temos mC = C e .
Então:

Resposta

(a) A carga total da lamina é nC.
(b) O campo elétrico no ponto (0,0,5) é N/C.
© A força experimentada pela carga de -1 mC é N.

Exercícios relacionados

Um disco uniformemente carregado esta no plano x y com seu eixo coincidindo com o eixo z. Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico num ponto sobre o eixo z , a uma distancia h do plano x y, è:
E=rhos2 varepsilon0(1-hraizr^2+h^2) z
Uma aplicação pratica da eletrostática é na separação eletrostática de sólidos. Por exemplo, o minério de fosfato, que ao ser extraído é usualmente constituído por pequenos grãos de quartzo e de rocha de fosfato, pode ser separado em seus componentes aplicando um campo elétrico uniforme, tal como ilustrado ao lado. Supondo que a velocidade e deslocamento iniciais das partículas é zero, determine a separação entre elas após caírem 80 cm . Adote E=500 kV / m e Q / m=9 mu C / kg para ambos os tipos de partículas.
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Sabendo que D=z rho cos ^2(varphi) z, calcule a densidade de cargas em (1, pi / 4,3) e a carga total encerrada no cilindro de raio 1 m com -2 <= z <= 2 m.