Um disco uniformemente carregado esta no plano x y com seu eixo coincidindo com o eixo z. Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico num ponto sobre o eixo z , a uma distancia h do plano x y, è:
E=rhos2 varepsilon0(1-hraizr^2+h^2) z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado no plano com carga de densidade superficial e queremos descobrir o campo elétrico em um ponto sobre o eixo , a uma distância desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a integração do campo elétrico gerado por elementos de carga no disco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. O campo elétrico dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r em um ponto devido a uma pequena carga é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Como o disco é simétrico, é mais fácil considerar o disco como sendo composto por várias anéis concêntricos de raio dq = rhos cdot 2pi s , ds e espessura . Cada anel tem uma carga superficial que podemos expressar em termos da densidade superficial :

Passo 4

Para cada anel, o campo elétrico gerado no ponto ao longo do eixo dEz = 14pi varepsilon0 dq cdot h(s^2 + h^2)^3/2 terá apenas a componente na direção dEz = rhos cdot 2pi s , ds cdot h4pi varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 = rhos h s , ds2 varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 , já que as componentes radiais se cancelam pela simetria. A componente do campo elétrico gerado por um anel é dada por:
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, para encontrar o campo elétrico total, integramos Ez = integral0^r rhos h s , ds2 varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 de Ez = rhos h4 varepsilon0 integralh^2^r^2 + h^2 u^-3/2 , du = rhos h4 varepsilon0 [ -2 u^-1/2 ]h^2^r^2 + h^2 até Ez = rhos h4 varepsilon0 ( -2 (r^2 + h^2)^-1/2 + 2 h^-1 ) = rhos2 varepsilon0 (1 - hraizr^2 + h^2 ) , onde é o raio do disco:
Fazendo a substituição , temos , o que simplifica a integral para:
Calculando os limites:

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo E = rhos2 varepsilon0 (1 - hraizr^2 + h^2) z , a uma distância do plano , é:

Exercícios relacionados

Uma aplicação pratica da eletrostática é na separação eletrostática de sólidos. Por exemplo, o minério de fosfato, que ao ser extraído é usualmente constituído por pequenos grãos de quartzo e de rocha de fosfato, pode ser separado em seus componentes aplicando um campo elétrico uniforme, tal como ilustrado ao lado. Supondo que a velocidade e deslocamento iniciais das partículas é zero, determine a separação entre elas após caírem 80 cm . Adote E=500 kV / m e Q / m=9 mu C / kg para ambos os tipos de partículas.
No poliestireno (C8 H8) temos: varepsilonr=2.56 e rho=1050 kg / m^3. Calcule o comprimento efetivo dos dipolos para um campo elétrico aplicado de 2 kV / m.
Uma lamina fina 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, sobre o plano z=0, tem uma densidade de carga dada por rhos=x y(x^2+y^2+25)^3 / 2 nC / m^2. Determine: (a) a carga total da lamina; (b) o campo eletrico em ( 0,0,5 ); © a força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em ( 0,0,5 ).
Um anel circular de raio a, uniformemente carregado, encontra-se no plano z=0 centrado na origem. (a) Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico em um ponto com coordenadas (0,0, h) é dado por:
E=rhoL2 varepsilon0(a h(a^2+h^2)^3 / 2) z
(b) Para quais valores de h o vetor campo elétrico terá máxima intensidade. © Se a carga total do anel for Q, determine o vetor campo elétrico para a 0.