Um disco uniformemente carregado esta no plano
com seu eixo coincidindo com o eixo
. Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico num ponto sobre o eixo z , a uma distancia
do plano
, è:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado no plano
com carga de densidade superficial
e queremos descobrir o campo elétrico em um ponto sobre o eixo
, a uma distância
desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a integração do campo elétrico gerado por elementos de carga no disco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. O campo elétrico
em um ponto devido a uma pequena carga
é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui,
é a distância entre a carga
e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Como o disco é simétrico, é mais fácil considerar o disco como sendo composto por várias anéis concêntricos de raio
e espessura
. Cada anel tem uma carga superficial
que podemos expressar em termos da densidade superficial
:
Passo 4
Para cada anel, o campo elétrico gerado no ponto ao longo do eixo
terá apenas a componente na direção
, já que as componentes radiais se cancelam pela simetria. A componente
do campo elétrico gerado por um anel é dada por:
Substituindo
na equação:
Passo 5
Agora, para encontrar o campo elétrico total, integramos
de
até
, onde
é o raio do disco:
Fazendo a substituição
, temos
, o que simplifica a integral para:
Calculando os limites:
Resposta
O campo elétrico no ponto sobre o eixo
, a uma distância
do plano
, é:
Exercícios relacionados
Uma aplicação pratica da eletrostática é na separação eletrostática de sólidos. Por exemplo, o minério de fosfato, que ao ser extraído é usualmente constituído por pequenos grãos de quartzo e de rocha de fosfato, pode ser separado em seus componentes aplicando um campo elétrico uniforme, tal como ilustrado ao lado. Supondo que a velocidade e deslocamento iniciais das partículas é zero, determine a separação entre elas após caírem 80 cm . Adote
e
para ambos os tipos de partículas.
No poliestireno
temos:
e
. Calcule o comprimento efetivo dos dipolos para um campo elétrico aplicado de
.
Uma lamina fina
, sobre o plano
, tem uma densidade de carga dada por
. Determine: (a) a carga total da lamina; (b) o campo eletrico em (
); © a força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em (
).
Um anel circular de raio
, uniformemente carregado, encontra-se no plano
centrado na origem. (a) Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico em um ponto com coordenadas
é dado por:
(b) Para quais valores de
o vetor campo elétrico terá máxima intensidade. © Se a carga total do anel for
, determine o vetor campo elétrico para
.