Sabendo que D=z rho cos ^2(varphi) z, calcule a densidade de cargas em (1, pi / 4,3) e a carga total encerrada no cilindro de raio 1 m com -2 <= z <= 2 m.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de deslocamento elétrico dado por D=z rho cos ^2(varphi) z. Precisamos calcular:
  1. A densidade de carga no ponto com coordenadas esféricas (1, pi/4, 3).
  2. A carga total dentro de um cilindro de raio 1 metro e altura de -2 a 2 metros.
Para resolver isso, vamos usar a relação entre o campo de deslocamento elétrico D e a densidade de carga livre rholibre dada por nabla cdot D = rholibre. Além disso, para calcular a carga total, vamos integrar a densidade de carga dentro do volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga rholibre no ponto dado. Para isso, precisamos calcular a divergência do campo D em coordenadas cilíndricas, já que o campo está expresso em termos de rho, varphi e z.
A divergência em coordenadas cilíndricas é dada por:
nabla cdot D = 1rho partial (rho Drho)partial rho + 1rho partial Dvarphipartial varphi + partial Dzpartial z
No nosso caso, Drho = 0, Dvarphi = 0, e Dz = z rho cos^2(varphi).

Passo 3

Substituindo os valores de Drho, Dvarphi e Dz na expressão da divergência, temos:
nabla cdot D = 1rho partial (0)partial rho + 1rho partial (0)partial varphi + partial (z rho cos^2(varphi))partial z
nabla cdot D = 0 + 0 + rho cos^2(varphi)
Portanto, a densidade de carga livre é:
rholibre = rho cos^2(varphi)

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade de carga no ponto específico (1, pi/4, 3). Aqui, rho = 1, varphi = pi/4 e z=3.
Substituindo esses valores na expressão da densidade de carga:
rholibre = 1 times cos^2(pi4)
Sabemos que cos(pi4) = raiz22, então:
rholibre = (raiz22)^2 = 24 = 12

Passo 5

Agora, vamos calcular a carga total encerrada no cilindro de raio 1 metro e altura de -2 a 2 metros. Para isso, vamos integrar a densidade de carga rholibre = rho cos^2(varphi) sobre o volume do cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV = rho , drho , dvarphi , dz. Então, a carga total Q é:
Q = integralz=-2^2 integralrho=0^1 integralvarphi=0^2pi rho cos^2(varphi) cdot rho , dvarphi , drho , dz
Q = integral-2^2 integral0^1 integral0^2pi rho^2 cos^2(varphi) , dvarphi , drho , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em varphi:
integral0^2pi cos^2(varphi) , dvarphi = pi
Isso porque cos^2(varphi) tem média 12 sobre um período 2pi, então:
integral0^2pi cos^2(varphi) , dvarphi = 12 times 2pi = pi

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral de Q:
Q = integral-2^2 integral0^1 rho^2 times pi , drho , dz
Q = pi integral-2^2 integral0^1 rho^2 , drho , dz
Primeiro, integramos em rho:
integral0^1 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^1 = 13

Passo 8

Substituindo de volta:
Q = pi integral-2^2 13 , dz = pi3 integral-2^2 dz
A integral em z:
integral-2^2 dz = 4
Então:
Q = pi3 times 4 = 4pi3

Resposta

A densidade de carga em (1, pi/4,3) é 12 , C/m^3 e a carga total encerrada no cilindro é 4pi3 , C.

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