Um anel de cobre de 20 g a 00 C tem um diametro interno . Uma esfera de aluminio a 1000C tem um diametro . A esfera é colocada acima do anel ate que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura de equilíbrio. Qual é a massa da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um anel de cobre de 20 g a 0°C com diâmetro interno de 2,540 cm e uma esfera de alumínio a 1000°C com diâmetro de 2,545 cm. Quando colocamos a esfera sobre o anel, eles trocam calor até chegar a uma temperatura de equilíbrio, sem perder calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel nessa temperatura final. Queremos descobrir qual é a massa da esfera.
Conteúdos que vamos usar:
  • Dilatação térmica: como a temperatura afeta o tamanho dos materiais.
  • Calorimetria: como o calor é transferido entre os objetos.
Vamos precisar das fórmulas de dilatação térmica e da equação de equilíbrio de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura afeta o diâmetro da esfera de alumínio. Quando a esfera esfria de 1000°C até a temperatura de equilíbrio, seu diâmetro diminui devido à contração térmica.
A fórmula para a dilatação linear (ou contração, no caso) é:
Onde:
  • é a variação no comprimento (ou diâmetro).
  • é o comprimento inicial (diâmetro inicial da esfera).
  • é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • é a variação de temperatura.
Para o alumínio, o coeficiente de dilatação linear ( ) é aproximadamente .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da dilatação para encontrar a temperatura de equilíbrio ( ).
Sabemos que, na temperatura de equilíbrio, o diâmetro da esfera será igual ao diâmetro interno do anel de cobre:
Onde:
  • (diâmetro do anel de cobre).
  • (diâmetro inicial da esfera de alumínio).
  • , onde .
Rearranjando a fórmula para encontrar :
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 4

Resolvendo a equação:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 2,545:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Somando 1000 a ambos os lados:
Então, a temperatura de equilíbrio é 900°C.

Passo 5

Agora que sabemos a temperatura de equilíbrio, vamos calcular a quantidade de calor perdida pela esfera de alumínio e a quantidade de calor ganha pelo anel de cobre.
A quantidade de calor ( ) é dada por:
Onde:
  • é a massa.
  • é a capacidade térmica específica.
  • é a variação de temperatura.
Para o alumínio:
Para o cobre:
Como não há perda de calor para o ambiente, o calor perdido pela esfera de alumínio é igual ao calor ganho pelo anel de cobre:
Substituindo os valores:
Observando que a massa do anel de cobre é 20 g, que é 0,020 kg.

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar :
Primeiro, simplificando ambos os lados:
Calculando o lado direito:
Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por 90,000:
Convertendo para gramas:

Resposta

A massa da esfera de alumínio é de 77 gramas.

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