Dois barcos estão rebocando uma balsa na água. Um dos barcos aplica uma força duas vezes maior que o outro. A força maior está direcionada a 27^circ a oeste do norte, e a força resultante que move a balsa tem magnitude de 460 N , apontando diretamente para o norte. Determine o valor de cada uma das forças e a direção da força menor, utilizando componentes vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas embarcações que estão rebocando uma balsa. Uma das forças aplicadas por essas embarcações é duas vezes maior que a outra. A força maior está direcionada a 27^circ a oeste do norte, e a força resultante que move a balsa é de 460 N, diretamente para o norte. Vamos usar componentes vetoriais para descobrir o valor de cada força e a direção da força menor. Precisaremos entender como decompor vetores em suas componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a força menor de 27^circ e a força maior de . A força maior está a a oeste do norte, então vamos decompor essa força em componentes norte (Y) e oeste (X).
A componente norte de é e a componente oeste é .

Passo 3

A força menor está em uma direção que vamos descobrir, mas sabemos que a força resultante é 460 N diretamente para o norte. Isso significa que a soma das componentes norte das duas forças deve ser 460 N, e as componentes leste e oeste devem se cancelar.
Vamos separar as forças em componentes:
  • Força maior :
    • Componente Y (norte):
    • Componente X (oeste):
  • Força menor :
    • Como a força resultante é direta para o norte, a componente leste da força menor deve cancelar a componente oeste da força maior. Então, a componente X da força menor é , onde é a direção a leste do norte.

Passo 4

Agora, igualamos as componentes:
Para a componente Y (norte):
2F cos(27^circ) + F cos(theta) = 460
Para a componente X (leste):
F sin(theta) = 2F sin(27^circ)

Passo 5

Vamos resolver a equação da componente X primeiro:
F sin(theta) = 2F sin(27^circ)
Dividindo ambos os lados por sin(theta) = 2 sin(27^circ) :
sin(27^circ) approx 0,4540 2 times 0,4540 = 0,9080
Calculando sin(theta) = 0,9080 :
theta = arcsin(0,9080) approx 65,3^circ
Então:
65,3^circ
Para encontrar :
Portanto, a direção da força menor é aproximadamente a leste do norte.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação da componente Y:
2F cos(27^circ) + F cos(65,3^circ) = 460
Calculando os cossenos:
cos(27^circ) approx 0,8910 cos(65,3^circ) approx 0,4154
Substituindo:
2F times 0,8910 + F times 0,4154 = 460 1,782F + 0,4154F = 460 2,1974F = 460
Resolvendo para F = 4602,1974 approx 209,3 , N :

Resposta

A força menor é aproximadamente 209,3 , N direcionada a 65,3^circ a leste do norte, e a força maior é aproximadamente 418,6 , N direcionada a 27^circ a oeste do norte.

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