Você está parado a uma distância D de uma fonte sonora pontual isotrópica, caminha 50 m em direção à fonte e observa que a intensidade do som dobrou. Calcule a distância D.
Resposta:
171 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que você está a uma distância de uma fonte sonora que emite igual para todas as direções (isso é o que é uma fonte sonora pontual isotrópica). Você caminha 50 metros em direção a essa fonte e percebe que a intensidade do som dobrou. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância inicial .
Vamos precisar usar o conceito de intensidade sonora e como ela varia com a distância em relação a uma fonte sonora isotrópica. A fórmula que relaciona a intensidade sonora com a distância é fundamental para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a intensidade sonora ( I = P4pi r^2 ) se relaciona com a distância ( ) a partir de uma fonte isotrópica. A intensidade sonora é a potência ( ) dividida pela área da superfície da esfera que a onda sonora está se propagando:
Isso significa que a intensidade sonora diminui com o quadrado da distância a partir da fonte.

Passo 3

No problema, a intensidade sonora dobrou quando você se moveu 50 metros em direção à fonte. Vamos chamar a distância inicial de Iinicial = P4pi D^2 e a distância final de Ifinal = P4pi (D - 50)^2 . Assim, temos:
P4pi (D - 50)^2 = 2 times P4pi D^2
Segundo o enunciado, . Então:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação cancelando 1(D - 50)^2 = 2D^2 dos dois lados:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Primeiro, multiplicamos ambos os lados por D^2 = 2(D - 50)^2 para eliminar os denominadores:
D^2 = 2(D^2 - 100D + 2500)
Agora, vamos expandir o lado direito:
D^2 = 2D^2 - 200D + 5000
Distribuindo o 2:

Passo 6

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
D^2 - 2D^2 + 200D - 5000 = 0
- D^2 + 200D - 5000 = 0
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
D^2 - 200D + 5000 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma a = 1, b = -200, c = 5000 , onde:
D = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver para D = 200 pm raiz(-200)^2 - 4 times 1 times 50002 :
D = 200 pm raiz40000 - 200002
Substituindo os valores:
D = 200 pm raiz200002
D = 200 pm 141.422

Passo 8

Calculando as duas possíveis soluções:
  1. metros
  2. metros
Como a distância inicial deve ser maior que 50 metros (já que você caminou 50 metros em direção à fonte), descartamos a segunda solução.

Resposta

A distância inicial é aproximadamente 171 metros.

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