Uma formiga, enlouquecida pelo Sol em um dia quente, sai correndo em um plano x y. As componentes ( x e y ) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros: (30,0 ; 40,0),(bx ;-70,0),(-20,0 ; cc) ;(-80,0 ;-70,0). O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes ( -140 ; -20,0). Determine (a) bx e (b) cy. Determine © o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimentação de uma formiga num plano xy, onde ela faz quatro corridas consecutivas com componentes em x e y em centímetros. A gente precisa descobrir alguns valores desconhecidos nas corridas e também o deslocamento total dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e adição vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as quatro corridas da formiga. Cada corrida tem componentes em x e y:
  1. Primeira corrida: (30, 0)
  2. Segunda corrida: (bx, -70)
  3. Terceira corrida: (-20, cy)
  4. Quarta corrida: (-80, -70)
O deslocamento total é a soma de todas essas corridas e é dado por (-140, -20). Nosso objetivo é encontrar os valores de bx e cy.

Passo 3

Vamos somar as componentes x das quatro corridas e igualar ao deslocamento total em x. A soma das componentes x é:
30 + bx + (-20) + (-80) = -140
Simplificando:
30 + bx - 20 - 80 = -140
bx - 70 = -140
Agora, isolamos bx:
bx = -140 + 70
bx = -70

Passo 4

Agora, vamos somar as componentes y das quatro corridas e igualar ao deslocamento total em y. A soma das componentes y é:
0 + (-70) + cy + (-70) = -20
Simplificando:
-70 + cy - 70 = -20
cy - 140 = -20
Isolando cy:
cy = -20 + 140
cy = 120

Passo 5

Agora que temos bx = -70 e cy = 120, vamos calcular o módulo do deslocamento total. O módulo de um vetor (x, y) é dado por:
Módulo = raizx^2 + y^2 ó
Aplicando os valores do deslocamento total:
Módulo = raiz(-140)^2 + (-20)^2 ó
Módulo = raiz19600 + 400 ó
Módulo = raiz20000 ó
Módulo approx 141,42 cm ó

Passo 6

Por fim, vamos encontrar o ângulo que o deslocamento total faz com o semieixo x positivo. Usamos a função tangente para isso:
tan(theta) = yx
Onde x = -140 e y = -20. Calculando:
tan(theta) = -20-140
tan(theta) = 17
Agora, calculamos o ângulo:
theta = arctan(17)
Usando uma calculadora:
theta approx 8,13^circ
Como ambos x e y são negativos, o vetor está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo em relação ao semieixo x positivo é:
180^circ + 8,13^circ = 188,13^circ

Resposta

(a) bx = -70
(b) cy = 120
© O módulo do deslocamento total é aproximadamente 141,42 cm.
(d) O ângulo do deslocamento total em relação ao semieixo x positivo é de aproximadamente 188,13^circ.

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