Um anel de cobre tem exatamente de diâmetro à temperatura de . Uma esfera de alumínio tem exatamente de diâmetro à . A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico.
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como uma esfera de alumínio e um anel de cobre trocam calor até chegar a uma temperatura igual. O que precisamos aqui envolve conceitos de dilatação térmica e equilíbrio térmico. Vamos usar fórmulas de expansão térmica para calcular como os diâmetros mudam com a temperatura e, depois, igualar a quantidade de calor que a esfera perde com o calor que o anel ganha para encontrar a temperatura final de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o diâmetro de cada objeto muda com a temperatura. A fórmula da dilatação linear é:
Onde:
  • é a variação do comprimento (ou diâmetro),
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para a esfera de alumínio. O diâmetro inicial da esfera em 100°C é 1,00200 cm, e queremos saber qual será o diâmetro quando ela atinge a temperatura final .
Então, o diâmetro final da esfera será:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o anel de cobre. O diâmetro inicial do anel em 0°C é 1,00000 cm, e queremos saber o diâmetro a temperatura final .
Então, o diâmetro final do anel será:

Passo 5

No equilíbrio térmico, a quantidade de calor perdida pela esfera de alumínio é igual à quantidade de calor ganha pelo anel de cobre. A fórmula do calor é:
Onde:
  • é o calor,
  • é a massa,
  • é a capacidade térmica específica,
  • é a variação de temperatura.

Passo 6

Vamos igualar os calores:

Passo 7

Precisamos relacionar as massas e com os diâmetros. Supondo que as esferas e os anéis tenham a mesma espessura ou volume proporcional ao diâmetro, podemos expressar a massa em função do di��metro:
Para uma esfera, o volume é proporcional ao , e para o anel, o volume é proporcional ao :
Onde é uma constante que se cancela na equação.

Passo 8

Substituindo as massas na equação de calor:

Passo 9

Agora, substituímos as expressões dos diâmetros e que encontramos nos passos anteriores e resolvemos a equação para . Isso envolve substituir as equações de e em termos de e então isolar .

Passo 10

Após realizar a substituição e resolver a equação, encontramos a temperatura de equilíbrio quando os dois objetos param de trocar calor e a esfera consegue passar pelo anel.

Resposta

A temperatura de equilíbrio entre a esfera de alumínio e o anel de cobre é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Preparam um recipiente térmico adiabático contendo de gelo a C e 120 latas com de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio ( cada) e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de C. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água.
Qual é a temperatura final no equilíbrio térmico?
Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Preparam um recipiente térmico adiabático contendo de gelo a C e 120 latas com de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio ( cada) e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de C. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água.
Qual á quantidade de gelo que resta quando o sistema atinge o equilíbrio térmico? Justifique.
Considere a equação de Bessel:
Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, não é necessário resolver a equação.
ii. é semi-inteiro.
O micrômero também é chamado de mícron. b) Que fração do centímetro é igual a 1,0 cm?