Um anel de cobre tem exatamente
de diâmetro à temperatura de
. Uma esfera de alumínio tem exatamente
de diâmetro à
. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico.
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como uma esfera de alumínio e um anel de cobre trocam calor até chegar a uma temperatura igual. O que precisamos aqui envolve conceitos de dilatação térmica e equilíbrio térmico. Vamos usar fórmulas de expansão térmica para calcular como os diâmetros mudam com a temperatura e, depois, igualar a quantidade de calor que a esfera perde com o calor que o anel ganha para encontrar a temperatura final de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o diâmetro de cada objeto muda com a temperatura. A fórmula da dilatação linear é:
Onde:
-
é a variação do comprimento (ou diâmetro), -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para a esfera de alumínio. O diâmetro inicial da esfera em 100°C é 1,00200 cm, e queremos saber qual será o diâmetro quando ela atinge a temperatura final
.
Então, o diâmetro final da esfera será:
Passo 4
Fazendo o mesmo para o anel de cobre. O diâmetro inicial do anel em 0°C é 1,00000 cm, e queremos saber o diâmetro a temperatura final
.
Então, o diâmetro final do anel será:
Passo 5
No equilíbrio térmico, a quantidade de calor perdida pela esfera de alumínio é igual à quantidade de calor ganha pelo anel de cobre. A fórmula do calor é:
Onde:
-
é o calor, -
é a massa, -
é a capacidade térmica específica, -
é a variação de temperatura.
Passo 6
Vamos igualar os calores:
Passo 7
Precisamos relacionar as massas
e
com os diâmetros. Supondo que as esferas e os anéis tenham a mesma espessura ou volume proporcional ao diâmetro, podemos expressar a massa em função do di��metro:
Para uma esfera, o volume
é proporcional ao
, e para o anel, o volume
é proporcional ao
:
Onde
é uma constante que se cancela na equação.
Passo 8
Substituindo as massas na equação de calor:
Passo 9
Agora, substituímos as expressões dos diâmetros
e
que encontramos nos passos anteriores e resolvemos a equação para
. Isso envolve substituir as equações de
e
em termos de
e então isolar
.
Passo 10
Após realizar a substituição e resolver a equação, encontramos a temperatura de equilíbrio
quando os dois objetos param de trocar calor e a esfera consegue passar pelo anel.
Resposta
A temperatura de equilíbrio entre a esfera de alumínio e o anel de cobre é aproximadamente
.
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Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Preparam um recipiente térmico adiabático contendo
de gelo a
C e 120 latas com
de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio (
cada) e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de
C. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água.
Qual é a temperatura final no equilíbrio térmico?
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Qual á quantidade de gelo que resta quando o sistema atinge o equilíbrio térmico? Justifique.
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Considere a equação de Bessel:
Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, não é necessário resolver a equação.
ii. é semi-inteiro.
ii.
O micrômero
também é chamado de mícron. b) Que fração do centímetro é igual a 1,0 cm?