Considere a equação de Bessel:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0
Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, não é necessário resolver a equação.
ii. v é semi-inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de Bessel:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - v^2) y = 0
O objetivo aqui é explicar como encontrar a segunda solução linearmente independente dessa equação quando é semi-inteiro. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e as soluções especiais chamadas funções de Bessel.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma equação diferencial de segunda ordem sempre tem duas soluções linearmente independentes. No caso da equação de Bessel, uma dessas soluções é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie, . Agora, pra encontrar a segunda solução que não é simplesmente um múltiplo da primeira, a gente pode usar um método chamado redução de ordem.

Passo 3

No método da redução de ordem, a ideia é assumir que a segunda solução, , pode ser expressa como algo mais. Esse termo de logaritmo surge naturalmente por causa da estrutura da equação de Bessel.

Passo 4

Quando é semi-inteiro, ou seja, igual a com inteiro, as funções de Bessel se relacionam com funções trigonométricas e polinomiais de maneira especial. Isso facilita a expressão da segunda solução , tornando-a mais simples e evitando complicações com os termos logarítmicos.

Passo 5

Além disso, para valores semi-inteiros de , a segunda solução pode ser expressa usando as funções de Neumann, que são outra forma de representar as soluções da equação de Bessel. Essas funções garantem que as duas soluções sejam realmente independentes e bem comportadas.

Resposta

Então, para encontrar a segunda solução linearmente independente da equação de Bessel quando é semi-inteiro, a gente utiliza a função de Bessel de segunda espécie , que pode ser obtida através da redução de ordem aplicada à primeira solução , aproveitando as simplificações que ocorrem nos casos semi-inteiros.

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