Se é um anel comutativo com unidade e e são ideais principais tais que , é verdade que ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um anel comutativo com unidade, chamado . Dentro desse anel, consideramos dois ideais principais, e , que são gerados pelos elementos e respectivamente. O enunciado afirma que e nos pergunta se isso implica que . Parece que há uma repetição, mas vamos interpretar que a pergunta quer saber se, dado que , isso implica alguma relação específica entre e .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com teoria de anéis, especificamente com ideais principais em anéis comutativos. Precisaremos entender o que significa dois ideais serem iguais e o que isso implica para os geradores desses ideais.

Passo 2

Entendendo Ideais Principais: Em um anel , um ideal principal é o conjunto de todos os múltiplos de por elementos de , ou seja, . Da mesma forma, .

Passo 3

Igualdade de Ideais: Se , isso significa que todo múltiplo de pode ser escrito como um múltiplo de e vice-versa. Em outras palavras, existe algum elemento tal que e algum elemento tal que .

Passo 4

Associação de Elementos: Nos anéis comutativos com unidade, dois elementos e são chamados de associados se existe uma unidade em (ou seja, um elemento invertível) tal que .

Passo 5

Implicação da Igualdade dos Ideais: Dado que , como mostramos no Passo 3, temos e . Substituindo na segunda equação, obtemos . Simplificando, . Como tem unidade, podemos cancelar (desde que não seja zero), resultando em . Isso mostra que é uma unidade em .

Passo 6

Conclusão: Como existe uma unidade tal que , concluímos que e são elementos associados no anel .

Resposta

Sim, se em um anel comutativo com unidade , então os elementos e são associados, ou seja, existe uma unidade em tal que .

Exercícios relacionados

Seja um subconjunto não vazio de um anel . Seja a interseção e todos os ideais em que contém (existe ao menos um ideal que contém , a saber, o próprio é um ideal que contém ). Prove que é um ideal. é chamado ideal gerado pelo conjunto .
Seja o operador linear definido por . a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonalizável.
Seja um ideal de . Prove que o conjunto
é um ideal de .
Seja um ideal em . Prove que o conjunto
é um ideal de .