Se
é um anel comutativo com unidade e
e
são ideais principais tais que
, é verdade que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um anel comutativo com unidade, chamado
. Dentro desse anel, consideramos dois ideais principais,
e
, que são gerados pelos elementos
e
respectivamente. O enunciado afirma que
e nos pergunta se isso implica que
. Parece que há uma repetição, mas vamos interpretar que a pergunta quer saber se, dado que
, isso implica alguma relação específica entre
e
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com teoria de anéis, especificamente com ideais principais em anéis comutativos. Precisaremos entender o que significa dois ideais serem iguais e o que isso implica para os geradores desses ideais.
Passo 2
Entendendo Ideais Principais: Em um anel
, um ideal principal
é o conjunto de todos os múltiplos de
por elementos de
, ou seja,
. Da mesma forma,
.
Passo 3
Igualdade de Ideais: Se
, isso significa que todo múltiplo de
pode ser escrito como um múltiplo de
e vice-versa. Em outras palavras, existe algum elemento
tal que
e algum elemento
tal que
.
Passo 4
Associação de Elementos: Nos anéis comutativos com unidade, dois elementos
e
são chamados de associados se existe uma unidade
em
(ou seja, um elemento invertível) tal que
.
Passo 5
Implicação da Igualdade dos Ideais: Dado que
, como mostramos no Passo 3, temos
e
. Substituindo
na segunda equação, obtemos
. Simplificando,
. Como
tem unidade, podemos cancelar
(desde que
não seja zero), resultando em
. Isso mostra que
é uma unidade em
.
Passo 6
Conclusão: Como existe uma unidade
tal que
, concluímos que
e
são elementos associados no anel
.
Resposta
Sim, se
em um anel comutativo com unidade
, então os elementos
e
são associados, ou seja, existe uma unidade
em
tal que
.