Seja
um ideal em
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto
é um ideal de
. Então, a gente vai usar conceitos de álgebra, especificamente sobre ideais em anéis. Precisamos lembrar o que é um ideal e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Pelo menos o zero de
pertence a
, porque
para qualquer
. Isso mostra que
contém o elemento neutro.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos
e
em
, queremos mostrar que
também está em
. Pelo enunciado,
e
para todo
. Então:
Assim,
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por qualquer elemento de
. Ou seja, se
e
, queremos mostrar que
e
. Vamos checar
:
E similarmente para
:
Portanto,
e
pertencem a
.
Resposta
Com isso, mostramos que
satisfaz todas as propriedades de um ideal em
. Logo,
é de fato um ideal de
.
Exercícios relacionados
Seja
um ideal de
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Se
é um anel comutativo com unidade e
e
são ideais principais tais que
, é verdade que
? Justifique sua resposta.
Determine se o conjunto
é um ideal no anel
.
Se
é um ideal em um corpo
, prove que
ou
. [Sugestão: Use o Exercício Anterior]