Seja J um ideal em A. Prove que o conjunto
I=a in A / a t=0A para todo t in J
é um ideal de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto é um ideal de . Então, a gente vai usar conceitos de álgebra, especificamente sobre ideais em anéis. Precisamos lembrar o que é um ideal e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Pelo menos o zero de pertence a , porque para qualquer . Isso mostra que contém o elemento neutro.

Passo 3

Agora, vamos checar se (a + b) t = a t + b t = 0A + 0A = 0A é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos e em , queremos mostrar que também está em . Pelo enunciado, e para todo . Então:
Assim, .

Passo 4

Por último, vamos verificar se (r a) t = r (a t) = r cdot 0A = 0A é fechado sob a multiplicação por qualquer elemento de a (r t) = a (r t) = (a r) t = 0A . Ou seja, se e , queremos mostrar que e . Vamos checar :
E similarmente para :
Portanto, e pertencem a .

Resposta

Com isso, mostramos que satisfaz todas as propriedades de um ideal em . Logo, é de fato um ideal de .

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