Seja um ideal em . Prove que o conjunto
é um ideal de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto é um ideal de . Então, a gente vai usar conceitos de álgebra, especificamente sobre ideais em anéis. Precisamos lembrar o que é um ideal e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Pelo menos o zero de pertence a , porque para qualquer . Isso mostra que contém o elemento neutro.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos e em , queremos mostrar que também está em . Pelo enunciado, e para todo . Então:
Assim, .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por qualquer elemento de . Ou seja, se e , queremos mostrar que e . Vamos checar :
E similarmente para :
Portanto, e pertencem a .

Resposta

Com isso, mostramos que satisfaz todas as propriedades de um ideal em . Logo, é de fato um ideal de .

Exercícios relacionados

Seja um ideal de . Prove que o conjunto
é um ideal de .
Se é um anel comutativo com unidade e e são ideais principais tais que , é verdade que ? Justifique sua resposta.
Determine se o conjunto é um ideal no anel .
Se é um ideal em um corpo , prove que ou . [Sugestão: Use o Exercício Anterior]