Seja
o operador linear definido por
. a) Determinar uma base do
em relação à qual a matriz do operador
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear
definido por
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de
na qual a matriz desse operador seja diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para diagonalizar um operador linear, precisamos encontrar uma base composta por seus autovetores. Isso significa que vamos precisar descobrir os autovalores e os autovetores da matriz que representa o operador
.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de
na base canônica. A função
corresponde à seguinte matriz:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores de
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 5
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Resposta
Uma base de
na qual a matriz do operador
é diagonalizável é formada pelos vetores
e
.