Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y). a) Determinar uma base do R^2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de na qual a matriz desse operador seja diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para diagonalizar um operador linear, precisamos encontrar uma base composta por seus autovetores. Isso significa que vamos precisar descobrir os autovalores e os autovetores da matriz que representa o operador .

Passo 3

Vamos escrever a matriz de A = 7 & -4 -4 & 1 na base canônica. A função corresponde à seguinte matriz:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 5

Calculando o determinante:
det 7 - lambda & -4 -4 & 1 - lambda = (7 - lambda)(1 - lambda) - (-4)(-4) = (7 - lambda)(1 - lambda) - 16
Expandindo:
(7 - lambda)(1 - lambda) = 7 cdot 1 - 7lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 8lambda + 7
Então:
lambda^2 - 8lambda + 7 - 16 = lambda^2 - 8lambda - 9 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 8 pm raiz64 + 362 = 8 pm raiz1002 = 8 pm 102
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 9 e lambda2 = -1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 7 - 9 & -4 -4 & 1 - 9 x y = -2 & -4 -4 & -8 x y = 0 0 :
Resolvemos -2x - 4y = 0 Rightarrow x + 2y = 0 :

[
-2 1
7 + 1 & -4 -4 & 1 + 1 x y = 8 & -4 -4 & 2 x y = 0 0

8x - 4y = 0 Rightarrow 2x - y = 0
1 2


]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Resposta

Uma base de -2 1 na qual a matriz do operador 1 2 é diagonalizável é formada pelos vetores -2 1 , 1 2 e .

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