Seja o operador linear definido por . a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de na qual a matriz desse operador seja diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para diagonalizar um operador linear, precisamos encontrar uma base composta por seus autovetores. Isso significa que vamos precisar descobrir os autovalores e os autovetores da matriz que representa o operador .

Passo 3

Vamos escrever a matriz de na base canônica. A função corresponde à seguinte matriz:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 5

Calculando o determinante:
Expandindo:
Então:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Resposta

Uma base de na qual a matriz do operador é diagonalizável é formada pelos vetores e .

Exercícios relacionados

Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
Seja um subconjunto não vazio de um anel . Seja a interseção e todos os ideais em que contém (existe ao menos um ideal que contém , a saber, o próprio é um ideal que contém ). Prove que é um ideal. é chamado ideal gerado pelo conjunto .
Se é um anel comutativo com unidade e e são ideais principais tais que , é verdade que ? Justifique sua resposta.