Seja
um ideal de
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ideal
de um anel
, e queremos provar que o conjunto
também é um ideal de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria dos Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que é um ideal e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.
Passo 2
Primeiro, lembraremos o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é fechado sob adição e subtração, e também que, ao multiplicar qualquer elemento de
por qualquer elemento de
, o resultado ainda está em
. Ou seja:
- Se
, então e . - Se
e , então e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz essas propriedades. Primeiro, precisamos checar se
é não vazio. Observando que
é um ideal, se tomarmos
(o elemento neutro aditivo de
), então para qualquer
,
. Logo,
, então
não está vazio.
Passo 4
Em seguida, vamos ver se
é fechado sob adição e subtração. Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Para qualquer
:
Como
, temos
e
. Como
é um ideal, é fechado sob adição, então
. Assim,
.
Da mesma forma, para a subtração:
Novamente,
e
, e
é fechado sob subtração. Portanto,
.
Passo 5
Por último, vamos verificar a propriedade de absorção pela multiplicação com elementos de
. Seja
e
. Queremos mostrar que
.
Para qualquer
:
Como
,
. Como
é um ideal, multiplicar
por
(um elemento de
) mantém o resultado dentro de
, ou seja,
. Logo,
.
Resposta
Assim, verificamos que
é não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve a multiplicação por quaisquer elementos de
. Portanto,
é um ideal de
.
Exercícios relacionados
Se
é um anel comutativo com unidade e
e
são ideais principais tais que
, é verdade que
? Justifique sua resposta.
Seja
um subconjunto não vazio de um anel
. Seja
a interseção e todos os ideais em
que contém
(existe ao menos um ideal que contém
, a saber, o próprio
é um ideal que contém
). Prove que
é um ideal.
é chamado ideal gerado pelo conjunto
.
Seja
um ideal em
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Determine se o conjunto
é um ideal no anel
.