Seja um ideal de . Prove que o conjunto
é um ideal de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ideal de um anel , e queremos provar que o conjunto
também é um ideal de . Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria dos Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que é um ideal e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.

Passo 2

Primeiro, lembraremos o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é fechado sob adição e subtração, e também que, ao multiplicar qualquer elemento de por qualquer elemento de , o resultado ainda está em . Ou seja:
  1. Se , então e .
  2. Se e , então e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se satisfaz essas propriedades. Primeiro, precisamos checar se é não vazio. Observando que é um ideal, se tomarmos (o elemento neutro aditivo de ), então para qualquer , . Logo, , então não está vazio.

Passo 4

Em seguida, vamos ver se é fechado sob adição e subtração. Suponha que . Queremos mostrar que .
Para qualquer :
Como , temos e . Como é um ideal, é fechado sob adição, então . Assim, .
Da mesma forma, para a subtração:
Novamente, e , e é fechado sob subtração. Portanto, .

Passo 5

Por último, vamos verificar a propriedade de absorção pela multiplicação com elementos de . Seja e . Queremos mostrar que .
Para qualquer :
Como , . Como é um ideal, multiplicar por (um elemento de ) mantém o resultado dentro de , ou seja, . Logo, .

Resposta

Assim, verificamos que é não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve a multiplicação por quaisquer elementos de . Portanto, é um ideal de .

Exercícios relacionados

Se é um anel comutativo com unidade e e são ideais principais tais que , é verdade que ? Justifique sua resposta.
Seja um subconjunto não vazio de um anel . Seja a interseção e todos os ideais em que contém (existe ao menos um ideal que contém , a saber, o próprio é um ideal que contém ). Prove que é um ideal. é chamado ideal gerado pelo conjunto .
Seja um ideal em . Prove que o conjunto
é um ideal de .
Determine se o conjunto é um ideal no anel .