Seja I um ideal de A. Prove que o conjunto
K=a in A / a b in I para todo b in A
é um ideal de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ideal K = a in A mid a b in I para todo b in A de um anel , e queremos provar que o conjunto
também é um ideal de . Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria dos Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que é um ideal e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um ideal.

Passo 2

Primeiro, lembraremos o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é fechado sob adição e subtração, e também que, ao multiplicar qualquer elemento de por qualquer elemento de , o resultado ainda está em . Ou seja:
  1. Se , então e .
  2. Se e , então e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se satisfaz essas propriedades. Primeiro, precisamos checar se é não vazio. Observando que é um ideal, se tomarmos (o elemento neutro aditivo de ), então para qualquer , . Logo, , então não está vazio.

Passo 4

Em seguida, vamos ver se (a + c) b = a b + c b é fechado sob adição e subtração. Suponha que (a - c) b = a b - c b . Queremos mostrar que .
Para qualquer :
Como , temos e . Como é um ideal, é fechado sob adição, então . Assim, .
Da mesma forma, para a subtração:
Novamente, e , e é fechado sob subtração. Portanto, .

Passo 5

Por último, vamos verificar a propriedade de absorção pela multiplicação com elementos de (r a) b = r (a b) . Seja e . Queremos mostrar que .
Para qualquer :
Como , . Como é um ideal, multiplicar por (um elemento de ) mantém o resultado dentro de , ou seja, . Logo, .

Resposta

Assim, verificamos que é não vazio, fechado sob adição e subtração, e absorve a multiplicação por quaisquer elementos de . Portanto, é um ideal de .

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