Seja um subconjunto não vazio de um anel . Seja a interseção e todos os ideais em que contém (existe ao menos um ideal que contém , a saber, o próprio é um ideal que contém ). Prove que é um ideal. é chamado ideal gerado pelo conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra abstrata! O enunciado fala sobre anéis e ideais, que são conceitos da teoria de anéis. A gente precisa provar que a interseção de todos os ideais que contêm um conjunto não vazio também é um ideal. Para isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como propriedades de interseção funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Num anel , um subconjunto é chamado de ideal se:
  1. é um subgrupo aditivo de (ou seja, fechado em adição e contém o inverso aditivo).
  2. Para todo em e todo em , os produtos e também estão em .

Passo 3

Agora, vamos considerar como a interseção de todos os ideais em que contêm . Ou seja,
é
Queremos mostrar que é um ideal. Para isso, precisamos verificar as duas propriedades que definem um ideal.

Passo 4

Propriedade 1: é um subgrupo aditivo de .
  • Fechamento em adição: Se , então e estão em todos os ideais que contêm . Como os ideais são grupos aditivos, também está em cada um desses ideais, então .
  • Existência do inverso aditivo: Se , então também está em cada ideal que contém , pois ideais são subgrupos aditivos. Logo, .
Propriedade 2: Absorção pela multiplicação.
  • Seja e . Como está em todos os ideais que contêm , e esses ideais são fechados sob multiplicação por elementos de , temos que e também estão em todos esses ideais. Portanto, e .

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um ideal. Portanto, é um ideal em .

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Seja um ideal de . Prove que o conjunto
é um ideal de .