Seja
um subconjunto não vazio de um anel
. Seja
a interseção e todos os ideais em
que contém
(existe ao menos um ideal que contém
, a saber, o próprio
é um ideal que contém
). Prove que
é um ideal.
é chamado ideal gerado pelo conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra abstrata! O enunciado fala sobre anéis e ideais, que são conceitos da teoria de anéis. A gente precisa provar que a interseção de todos os ideais que contêm um conjunto
não vazio
também é um ideal. Para isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como propriedades de interseção funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Num anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se:
-
é um subgrupo aditivo de (ou seja, fechado em adição e contém o inverso aditivo). - Para todo
em e todo em , os produtos e também estão em .
Passo 3
Agora, vamos considerar
como a interseção de todos os ideais em
que contêm
. Ou seja,
Queremos mostrar que
é um ideal. Para isso, precisamos verificar as duas propriedades que definem um ideal.
Passo 4
Propriedade 1:
é um subgrupo aditivo de
.
- Fechamento em adição: Se
, então e estão em todos os ideais que contêm . Como os ideais são grupos aditivos, também está em cada um desses ideais, então . - Existência do inverso aditivo: Se
, então também está em cada ideal que contém , pois ideais são subgrupos aditivos. Logo, .
Propriedade 2: Absorção pela multiplicação.
- Seja
e . Como está em todos os ideais que contêm , e esses ideais são fechados sob multiplicação por elementos de , temos que e também estão em todos esses ideais. Portanto, e .
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades de um ideal. Portanto,
é um ideal em
.
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear definido por
. a) Determinar uma base do
em relação à qual a matriz do operador
é diagonalizável.
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
Se
é um anel comutativo com unidade e
e
são ideais principais tais que
, é verdade que
? Justifique sua resposta.
Seja
um ideal de
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.