Um anel, um disco e uma esfera de mesmos raios e massas são soltos do repouso do topo de uma rampa de comprimento e ângulo de inclinação de
a) Qual dos objetos chega primeiro à base da rampa?
b) Quais as velocidades lineares dos objetos na base da rampa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um anel, um disco e uma esfera, todos com o mesmo raio e massa, que são soltos do topo de uma rampa inclinada com comprimento e ângulo de . A gente quer saber:
a) Qual desses objetos chega primeiro na base da rampa?
b) Quais são as velocidades deles quando chegam lá?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento rotacional e momentos de inércia. Basicamente, quando esses objetos descem a rampa, eles não só se movem para baixo, mas também giram. Então, a forma como eles giram (que depende da forma deles) vai influenciar a velocidade com que chegam na base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial no topo da rampa vai se transformar em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro). A energia total no topo é:
onde é a altura da rampa, é a massa e é a aceleração da gravidade ( ²).
A energia cinética total na base da rampa será:
Aqui, é o momento de inércia do objeto e é a velocidade angular.

Passo 3

Como os objetos estão rolando sem deslizar, a velocidade linear e a angular estão relacionadas por:
Onde é o raio do objeto. Substituindo por na equação da energia cinética:

Passo 4

Igualando a energia potencial à energia cinética na base:
Podemos simplificar cancelando e rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora, precisamos expressar a altura em termos do comprimento da rampa e do ângulo :
Substituindo na equação de :

Passo 6

Cada objeto tem um momento de inércia diferente:
  • Anel:
  • Disco:
  • Esfera:
Vamos substituir esses valores na fórmula para .

Passo 7

Para o anel:
Para o disco:
Para a esfera:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos e na equação de para cada objeto.
Para simplificar, vamos usar ².

Passo 9

Calculando as velocidades:
Para o anel:
Para o disco:
Para a esfera:

Passo 10

Agora, para saber quem chega primeiro, precisamos saber qual tem a maior velocidade, já que todos começam do repouso e descem a mesma distância.
Comparando:
  • Anel:
  • Disco:
  • Esfera:
A esfera tem a maior velocidade, seguida pelo disco e pelo anel.

Resposta

a) A esfera chega primeiro à base da rampa.
b) As velocidades na base da rampa são:
  • Anel: aproximadamente
  • Disco: aproximadamente
  • Esfera: aproximadamente

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a)
b)
c)
d)
e)
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