Um anel, um disco e uma esfera de mesmos raios e massas são soltos do repouso do topo de uma rampa de comprimento L=2,5 m e ângulo de inclinação de theta=12^0
a) Qual dos objetos chega primeiro à base da rampa?
b) Quais as velocidades lineares dos objetos na base da rampa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um anel, um disco e uma esfera, todos com o mesmo raio e massa, que são soltos do topo de uma rampa inclinada com comprimento L = 2,5,m e ângulo de 12^circ. A gente quer saber:
a) Qual desses objetos chega primeiro na base da rampa?
b) Quais são as velocidades deles quando chegam lá?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento rotacional e momentos de inércia. Basicamente, quando esses objetos descem a rampa, eles não só se movem para baixo, mas também giram. Então, a forma como eles giram (que depende da forma deles) vai influenciar a velocidade com que chegam na base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial no topo da rampa vai se transformar em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro). A energia total no topo é:
Epot = mgh
onde h é a altura da rampa, m é a massa e g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81,m/s²²).
A energia cinética total na base da rampa será:
Ecin = 12mv^2 + 12Iomega^2
Aqui, I é o momento de inércia do objeto e omega é a velocidade angular.

Passo 3

Como os objetos estão rolando sem deslizar, a velocidade linear v e a angular omega estão relacionadas por:
v = omega R
Onde R é o raio do objeto. Substituindo omega por v/R na equação da energia cinética:
Ecin = 12mv^2 + 12I(vR)^2 = 12mv^2 + 12IR^2v^2 = 12v^2 (m + IR^2)

Passo 4

Igualando a energia potencial à energia cinética na base:
mgh = 12v^2 (m + IR^2)
Podemos simplificar cancelando m e rearranjando para encontrar v:
v = raiz2gh1 + ImR^2

Passo 5

Agora, precisamos expressar a altura h em termos do comprimento da rampa L e do ângulo theta:
h = L sintheta
Substituindo na equação de v:
v = raiz2gLsintheta1 + ImR^2

Passo 6

Cada objeto tem um momento de inércia diferente:
  • Anel: I = mR^2
  • Disco: I = 12mR^2
  • Esfera: I = 25mR^2
Vamos substituir esses valores na fórmula para v.

Passo 7

Para o anel:
vanel = raiz2gLsintheta1 + mR^2mR^2 = raiz2gLsintheta2 = raizgLsintheta
Para o disco:
vdisco = raiz2gLsintheta1 + 12mR^2mR^2 = raiz2gLsintheta1 + 12 = raiz4gLsintheta3
Para a esfera:
vesfera = raiz2gLsintheta1 + 25mR^2mR^2 = raiz2gLsintheta1 + 25 = raiz10gLsintheta7

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos h:
h = 2,5,m times sin12^circ approx 2,5 times 0,2079 approx 0,52,m
Agora, substituímos h e g na equação de v para cada objeto.
Para simplificar, vamos usar g = 9,81,m/s²².

Passo 9

Calculando as velocidades:
Para o anel:
vanel = raiz9,81 times 2,5 times 0,2079 approx raiz5,14 approx 2,27,m/s
Para o disco:
vdisco = raiz4 times 9,81 times 2,5 times 0,20793 approx raiz20,563 approx raiz6,85 approx 2,62,m/s
Para a esfera:
vesfera = raiz10 times 9,81 times 2,5 times 0,20797 approx raiz51,757 approx raiz7,39 approx 2,72,m/s

Passo 10

Agora, para saber quem chega primeiro, precisamos saber qual tem a maior velocidade, já que todos começam do repouso e descem a mesma distância.
Comparando:
  • Anel: 2,27,m/s
  • Disco: 2,62,m/s
  • Esfera: 2,72,m/s
A esfera tem a maior velocidade, seguida pelo disco e pelo anel.

Resposta

a) A esfera chega primeiro à base da rampa.
b) As velocidades na base da rampa são:
  • Anel: aproximadamente 2,27,m/s
  • Disco: aproximadamente 2,62,m/s
  • Esfera: aproximadamente 2,72,m/s

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