Um anel, um disco e uma esfera de mesmos raios e massas são soltos do repouso do topo de uma rampa de comprimento e ângulo de inclinação de
a) Qual dos objetos chega primeiro à base da rampa?
b) Quais as velocidades lineares dos objetos na base da rampa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um anel, um disco e uma esfera, todos com o mesmo raio e massa, que são soltos do topo de uma rampa inclinada com comprimento e ângulo de . A gente quer saber:
a) Qual desses objetos chega primeiro na base da rampa?
b) Quais são as velocidades deles quando chegam lá?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento rotacional e momentos de inércia. Basicamente, quando esses objetos descem a rampa, eles não só se movem para baixo, mas também giram. Então, a forma como eles giram (que depende da forma deles) vai influenciar a velocidade com que chegam na base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial no topo da rampa vai se transformar em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro). A energia total no topo é:
onde é a altura da rampa, é a massa e é a aceleração da gravidade ().
A energia cinética total na base da rampa será:
Aqui, é o momento de inércia do objeto e é a velocidade angular.
Passo 3
Como os objetos estão rolando sem deslizar, a velocidade linear e a angular estão relacionadas por:
Onde é o raio do objeto. Substituindo por na equação da energia cinética:
Passo 4
Igualando a energia potencial à energia cinética na base:
Podemos simplificar cancelando e rearranjando para encontrar :
Passo 5
Agora, precisamos expressar a altura em termos do comprimento da rampa e do ângulo :
Substituindo na equação de :
Passo 6
Cada objeto tem um momento de inércia diferente:
Anel:
Disco:
Esfera:
Vamos substituir esses valores na fórmula para .
Passo 7
Para o anel:
Para o disco:
Para a esfera:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos e na equação de para cada objeto.
Para simplificar, vamos usar ².
Passo 9
Calculando as velocidades:
Para o anel:
Para o disco:
Para a esfera:
Passo 10
Agora, para saber quem chega primeiro, precisamos saber qual tem a maior velocidade, já que todos começam do repouso e descem a mesma distância.
Comparando:
Anel:
Disco:
Esfera:
A esfera tem a maior velocidade, seguida pelo disco e pelo anel.