Um anel de raio
é carregado negativamente com uma densidade linear uniforme. Obtenha o potencial
e o campo
em um ponto situado ao longo do eixo do anel.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio
que está carregado negativamente de forma uniforme ao longo de seu contorno. Precisamos encontrar o potencial elétrico
e o campo elétrico
em um ponto que está localizado ao longo do eixo desse anel.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial e o campo elétrico gerados por distribuições de carga. Precisaremos conhecer as fórmulas básicas para o potencial elétrico e para o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Vamos começar calculando o potencial elétrico
. O potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga contínua é dado pela integral:
Aqui,
é a densidade linear de carga,
é um elemento de comprimento do anel, e
é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e o elemento de carga
.
Passo 3
Como o ponto onde vamos calcular o potencial está ao longo do eixo do anel, podemos simplificar a distância
. Se considerarmos que o ponto está a uma distância
do centro do anel ao longo do eixo, a distância de qualquer ponto no anel ao ponto
é:
Note que essa distância é a mesma para todos os pontos ao redor do anel devido à simetria circular.
Passo 4
Substituindo essa distância na expressão do potencial, temos:
Como
é constante ao longo do anel, podemos tirar essa expressão da integral:
Passo 5
A integral
ao redor de todo o anel é simplesmente o comprimento total do anel, que é
. Substituindo isso na equação:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico
. O campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
Vamos derivar
em relação a
:
Portanto, o campo elétrico é:
Resposta
O potencial elétrico no ponto ao longo do eixo do anel é:
E o campo elétrico nesse ponto é: