Um anel de raio R é carregado negativamente com uma densidade linear uniforme. Obtenha o potencial V(r) e o campo E em um ponto situado ao longo do eixo do anel.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio que está carregado negativamente de forma uniforme ao longo de seu contorno. Precisamos encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico em um ponto que está localizado ao longo do eixo desse anel.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial e o campo elétrico gerados por distribuições de carga. Precisaremos conhecer as fórmulas básicas para o potencial elétrico e para o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Vamos começar calculando o potencial elétrico V(r) = 14pivarepsilon0 integral lambda , dell|r - r'| . O potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga contínua é dado pela integral:
Aqui, é a densidade linear de carga, é um elemento de comprimento do anel, e é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e o elemento de carga .

Passo 3

Como o ponto onde vamos calcular o potencial está ao longo do eixo do anel, podemos simplificar a distância |r - r'| = raizR^2 + z^2 . Se considerarmos que o ponto está a uma distância do centro do anel ao longo do eixo, a distância de qualquer ponto no anel ao ponto é:
Note que essa distância é a mesma para todos os pontos ao redor do anel devido à simetria circular.

Passo 4

Substituindo essa distância na expressão do potencial, temos:
V(z) = 14pivarepsilon0 integral lambda , dellraizR^2 + z^2
Como V(z) = lambda4pivarepsilon0 raizR^2 + z^2 integral dell é constante ao longo do anel, podemos tirar essa expressão da integral:

Passo 5

A integral V(z) = lambda4pivarepsilon0 raizR^2 + z^2 times 2pi R = lambda R2varepsilon0 raizR^2 + z^2 ao redor de todo o anel é simplesmente o comprimento total do anel, que é . Substituindo isso na equação:

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico E(z) = -dVdz , z . O campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
dVdz = lambda R2varepsilon0 times -z(R^2 + z^2)^3/2
Vamos derivar E(z) = lambda R z2varepsilon0 (R^2 + z^2)^3/2 , z em relação a :
Portanto, o campo elétrico é:

Resposta

O potencial elétrico no ponto ao longo do eixo do anel é:
V(z) = lambda R2varepsilon0 raizR^2 + z^2
E o campo elétrico nesse ponto é:
E(z) = lambda R z2varepsilon0 (R^2 + z^2)^3/2 , z

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