Considere três corpos puntiformes de massa
e carga elétrica
penduradas no teto de um laboratório de Física. Cada um desses corpos está preso a um fio isolante e inextensível de comprimento
de modo que em uma das extremidades do fio está preso um determinado corpo corpo e a outra está fixa em um ponto
no teto do laboratório. Com o sistema em equilíbrio estático verifica-se que o ângulo entre dois dos fios é
. Determine o valor da carga q. Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três corpos pontuais, cada um com massa
e carga elétrica
, pendurados no teto por fios de comprimento
. Em equilíbrio, o ângulo entre dois dos fios é
. Nosso objetivo é encontrar o valor da carga
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, incluindo forças gravitacional e elétrica, além da decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada corpo. Há duas principais:
- Força gravitacional (
): Puxa o corpo para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Força elétrica (
): Devido às cargas elétricas, que repulsam os corpos entre si. Esta força depende da carga e da distância entre os corpos.
Passo 3
Como os corpos estão em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Vamos decompor as forças nos eixos horizontal (
) e vertical (
).
-
Componente vertical:onde
é a tensão no fio e é o ângulo que o fio faz com a vertical. -
Componente horizontal:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar o ângulo
dado no problema com o ângulo
. Considerando a geometria do sistema, temos que
. Portanto,
.
Passo 5
Vamos substituir
na equação da componente vertical:
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
na equação da componente horizontal:
Simplificando:
Passo 7
A força elétrica
pode ser expressa pela Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre as cargas e
é a permissividade do vácuo.
Passo 8
Vamos encontrar a distância
. Observando a geometria, podemos ver que:
Portanto:
Passo 9
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Simplificando a expressão usando identidades trigonométricas:
Usando a identidade
:
Rearranjando: