Considere três corpos puntiformes de massa m e carga elétrica q penduradas no teto de um laboratório de Física. Cada um desses corpos está preso a um fio isolante e inextensível de comprimento ell de modo que em uma das extremidades do fio está preso um determinado corpo corpo e a outra está fixa em um ponto P no teto do laboratório. Com o sistema em equilíbrio estático verifica-se que o ângulo entre dois dos fios é theta. Determine o valor da carga q. Resposta: q=ell sen(theta) raiz4 pi epsilon0 m>an(theta)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três corpos pontuais, cada um com massa e carga elétrica , pendurados no teto por fios de comprimento . Em equilíbrio, o ângulo entre dois dos fios é . Nosso objetivo é encontrar o valor da carga . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, incluindo forças gravitacional e elétrica, além da decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada corpo. Há duas principais:
  1. Força gravitacional ( ): Puxa o corpo para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Força elétrica ( ): Devido às cargas elétricas, que repulsam os corpos entre si. Esta força depende da carga e da distância entre os corpos.

Passo 3

Como os corpos estão em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Vamos decompor as forças nos eixos horizontal ( T cos(alpha) = m g ) e vertical ( T sin(alpha) = Fe ).
  • Componente vertical:
    onde é a tensão no fio e é o ângulo que o fio faz com a vertical.
  • Componente horizontal:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o ângulo dado no problema com o ângulo . Considerando a geometria do sistema, temos que . Portanto, .

Passo 5

Vamos substituir T cos(theta2) = m g na equação da componente vertical:
T = m gcos(theta2)
Isolando :

Passo 6

Substituindo m gcos(theta2) sin(theta2) = Fe na equação da componente horizontal:
m g tan(theta2) = Fe
Simplificando:

Passo 7

A força elétrica Fe = 14 pi epsilon0 q^2d^2 pode ser expressa pela Lei de Coulomb:
onde é a distância entre as cargas e é a permissividade do vácuo.

Passo 8

Vamos encontrar a distância d = 2 ell sin(theta2) . Observando a geometria, podemos ver que:
Fe = 14 pi epsilon0 q^2(2 ell sin(theta2))^2 = q^216 pi epsilon0 ell^2 sin^2(theta2)
Portanto:

Passo 9

Igualando as duas expressões para m g tan(theta2) = q^216 pi epsilon0 ell^2 sin^2(theta2) :
q^2 = 16 pi epsilon0 ell^2 m g tan(theta2) sin^2(theta2)
Resolvendo para :

Passo 10

Simplificando a expressão usando identidades trigonométricas:
q^2 = 16 pi epsilon0 ell^2 m g sin(theta2) cos(theta2)
q = raiz16 pi epsilon0 ell^2 m g sin(theta2) cos(theta2)
Usando a identidade q = raiz8 pi epsilon0 ell^2 m g sin(theta) :
q = ell sin(theta) raiz4 pi epsilon0 m g tan(theta)
Rearranjando:

Resposta

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