Considere uma casca hemisférica de raio R uniformemente carregada com densidade superficial de carga sigma. O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano x y com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico E em um ponto arbitrário no eixo z distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que z>R e z<.
Respostas: z<

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma casca hemisférica com raio , carregada de maneira uniforme com densidade superficial de carga . Essa casca está posicionada de forma que a base dela está no plano e o centro está na origem. O que precisamos fazer é encontrar a expressão para o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo que não seja a origem. Depois, vamos analisar como esse campo se comporta quando e quando é muito menor que ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto no eixo a uma distância da origem. Devido à simetria da casca hemisférica, o campo elétrico nesse ponto terá apenas componente na direção , já que as componentes nas direções e se cancelam mutuamente.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico dE = 14piepsilon0 dq cdot r|r|^3 nesse ponto, vamos integrar as contribuições de todos os pequenos elementos de carga na casca hemisférica. A expressão para o campo elétrico devido a uma carga diferencial é dada por:
onde é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Considerando a simetria do problema, somente a componente ao longo do eixo Ez = integral dEz = integral 14piepsilon0 sigma , dA cdot z(R^2 + z^2)^3/2 contribui para o campo total. Portanto, podemos escrever:
Aqui, é um elemento de área da casca hemisférica. Como a distribuição de carga é uniforme, .

Passo 5

A integral pode ser resolvida aproveitando a simetria e as coordenadas esféricas. Após a integração, encontramos que para Ez = sigmaepsilon0 , o campo elétrico se aproxima de:
Isso significa que, quando o ponto está muito próximo da casca (ou seja, é muito pequeno comparado a ), o campo elétrico é constante e igual a .

Resposta

Quando Ez = sigmaepsilon0 , o campo elétrico na direção é dado por:

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