Considere uma casca hemisférica de raio
uniformemente carregada com densidade superficial de carga
. O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano
com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico
em um ponto arbitrário no eixo
distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que
e
.
Respostas:
Respostas:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma casca hemisférica com raio
, carregada de maneira uniforme com densidade superficial de carga
. Essa casca está posicionada de forma que a base dela está no plano
e o centro está na origem. O que precisamos fazer é encontrar a expressão para o campo elétrico
em um ponto qualquer ao longo do eixo
que não seja a origem. Depois, vamos analisar como esse campo se comporta quando
e quando
é muito menor que
(
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto no eixo
a uma distância
da origem. Devido à simetria da casca hemisférica, o campo elétrico nesse ponto terá apenas componente na direção
, já que as componentes nas direções
e
se cancelam mutuamente.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico
nesse ponto, vamos integrar as contribuições de todos os pequenos elementos de carga na casca hemisférica. A expressão para o campo elétrico devido a uma carga diferencial
é dada por:
onde
é o vetor que vai do elemento de carga
até o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 4
Considerando a simetria do problema, somente a componente ao longo do eixo
contribui para o campo total. Portanto, podemos escrever:
Aqui,
é um elemento de área da casca hemisférica. Como a distribuição de carga é uniforme,
.
Passo 5
A integral pode ser resolvida aproveitando a simetria e as coordenadas esféricas. Após a integração, encontramos que para
, o campo elétrico
se aproxima de:
Isso significa que, quando o ponto está muito próximo da casca (ou seja,
é muito pequeno comparado a
), o campo elétrico é constante e igual a
.
Resposta
Quando
, o campo elétrico na direção
é dado por:
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