Considere uma carga positiva Q uniformemente distribuída em todo o volume de uma esfera de raio R. Mostre que o campo E produzido em um ponto P fora da esfera é o mesmo campo que seria produzido se toda a carga Q da esfera estivesse concentrada em seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera com carga positiva Q distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume e raio R. A gente precisa mostrar que o campo elétrico E em um ponto P que está do lado de fora da esfera é o mesmo que se toda a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e alguns conceitos de simetria em eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0). Matematicamente, isso é escrito como:
ointS E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Essa lei é super útil para calcular campos elétricos quando temos simetria, como no caso de uma esfera.

Passo 3

Como a carga está distribuída de forma uniforme na esfera, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana que escolhermos, e ele será radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro da esfera. Vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica, com raio r > R, passando pelo ponto P onde queremos calcular o campo.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica:
ointS E cdot dA = E cdot 4pi r^2
Aqui, E é a magnitude do campo elétrico na superfície gaussiana, e 4pi r^2 é a área da esfera de raio r.

Passo 5

A carga total dentro da superfície gaussiana é toda a carga Q da esfera, já que r > R. Assim, segundo a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4pi varepsilon0 r^2
Esse é o campo elétrico gerado por uma carga pontual Q localizada no centro da esfera.

Passo 6

Portanto, mostramos que o campo elétrico E em um ponto P fora da esfera com carga distribuída uniformemente é igual ao campo que seria gerado se toda a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.

Resposta

O campo elétrico E em um ponto P fora da esfera de raio R com carga Q uniformemente distribuída é dado por:
E = Q4pi varepsilon0 r^2 r
igual ao campo produzido por uma carga pontual Q concentrada no centro da esfera.

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