Considere uma carga positiva
uniformemente distribuída em todo o volume de uma esfera de raio R. Mostre que o campo
produzido em um ponto
fora da esfera é o mesmo campo que seria produzido se toda a carga
da esfera estivesse concentrada em seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera com carga positiva
distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume e raio
. A gente precisa mostrar que o campo elétrico
em um ponto
que está do lado de fora da esfera é o mesmo que se toda a carga
estivesse concentrada no centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e alguns conceitos de simetria em eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Matematicamente, isso é escrito como:
Essa lei é super útil para calcular campos elétricos quando temos simetria, como no caso de uma esfera.
Passo 3
Como a carga está distribuída de forma uniforme na esfera, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana que escolhermos, e ele será radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro da esfera. Vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica, com raio
, passando pelo ponto
onde queremos calcular o campo.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica:
Aqui,
é a magnitude do campo elétrico na superfície gaussiana, e
é a área da esfera de raio
.
Passo 5
A carga total dentro da superfície gaussiana é toda a carga
da esfera, já que
. Assim, segundo a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Esse é o campo elétrico gerado por uma carga pontual
localizada no centro da esfera.
Passo 6
Portanto, mostramos que o campo elétrico
em um ponto
fora da esfera com carga distribuída uniformemente é igual ao campo que seria gerado se toda a carga
estivesse concentrada no centro da esfera.
Resposta
O campo elétrico
em um ponto
fora da esfera de raio
com carga
uniformemente distribuída é dado por:
igual ao campo produzido por uma carga pontual
concentrada no centro da esfera.