Calcule o campo E produzido por uma superfície plana infinita carregada com uma carga positiva uniformemente distribuída, em um ponto
acima do plano (a) a partir da definição de campo eletrostático e (b) usando a lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos calcular o campo elétrico
gerado por uma superfície plana infinita com carga positiva distribuída de forma uniforme, em um ponto
que está acima do plano. Vamos fazer isso de duas maneiras: (a) usando a definição de campo eletrostático e (b) aplicando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar saber o que é campo elétrico e como a Lei de Gauss funciona.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a), que pede para calcular
usando a definição de campo eletrostático. A definição básica do campo elétrico é que ele é a força por unidade de carga que uma carga de teste positiva sentiria naquele ponto.
Passo 3
Então, imagine que temos uma carga de teste
no ponto
. A força que essa carga sente devido ao plano carregado é
. Mas como o plano é infinito e a carga está distribuída uniformemente, a força é sempre perpendicular ao plano e tem a mesma intensidade em qualquer ponto a uma mesma distância. Considerando a densidade de carga superficial
, a intensidade do campo elétrico fica então
, onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), que usa a Lei de Gauss para encontrar
. A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
:
Passo 5
Escolhemos uma superfície gaussiana que seja um cilindro com as bases paralelas ao plano carregado e uma altura que se estende igualmente acima e abaixo do plano. Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular às bases do cilindro e igual em magnitude. As contribuições pelas laterais do cilindro são nulas porque o campo é paralelo a essas superfícies. Assim, a integral fica:
Onde
é a área de cada base do cilindro. Simplificando:
Resposta
(a) Usando a definição de campo eletrostático, o campo elétrico no ponto
é:
(b) Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico no ponto
também é:
Exercícios relacionados
Considere uma casca hemisférica de raio
uniformemente carregada com densidade superficial de carga
. O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano
com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico
em um ponto arbitrário no eixo
distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que
e
.
Respostas:
Respostas:
Combine o teorema da divergência e a lei de Gauss na forma integral e obtenha a lei de Gauss na forma diferencial. A partir da equação do campo elétrico
para uma distribuição volumétrica de cargas, obtenha a (b) divergência e © e o rotacional de
.
Um anel de raio
é carregado negativamente com uma densidade linear uniforme. Obtenha o potencial
e o campo
em um ponto situado ao longo do eixo do anel.
Considere três corpos puntiformes de massa
e carga elétrica
penduradas no teto de um laboratório de Física. Cada um desses corpos está preso a um fio isolante e inextensível de comprimento
de modo que em uma das extremidades do fio está preso um determinado corpo corpo e a outra está fixa em um ponto
no teto do laboratório. Com o sistema em equilíbrio estático verifica-se que o ângulo entre dois dos fios é
. Determine o valor da carga q. Resposta: