Calcule o campo E produzido por uma superfície plana infinita carregada com uma carga positiva uniformemente distribuída, em um ponto P acima do plano (a) a partir da definição de campo eletrostático e (b) usando a lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos calcular o campo elétrico gerado por uma superfície plana infinita com carga positiva distribuída de forma uniforme, em um ponto que está acima do plano. Vamos fazer isso de duas maneiras: (a) usando a definição de campo eletrostático e (b) aplicando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar saber o que é campo elétrico e como a Lei de Gauss funciona.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), que pede para calcular usando a definição de campo eletrostático. A definição básica do campo elétrico é que ele é a força por unidade de carga que uma carga de teste positiva sentiria naquele ponto.

Passo 3

Então, imagine que temos uma carga de teste no ponto . A força que essa carga sente devido ao plano carregado é . Mas como o plano é infinito e a carga está distribuída uniformemente, a força é sempre perpendicular ao plano e tem a mesma intensidade em qualquer ponto a uma mesma distância. Considerando a densidade de carga superficial , a intensidade do campo elétrico fica então , onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), que usa a Lei de Gauss para encontrar oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 . A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por :

Passo 5

Escolhemos uma superfície gaussiana que seja um cilindro com as bases paralelas ao plano carregado e uma altura que se estende igualmente acima e abaixo do plano. Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular às bases do cilindro e igual em magnitude. As contribuições pelas laterais do cilindro são nulas porque o campo é paralelo a essas superfícies. Assim, a integral fica:
E cdot A + E cdot A = sigma Aepsilon0
Onde 2EA = sigma Aepsilon0 implies E = sigma2epsilon0 é a área de cada base do cilindro. Simplificando:

Resposta

(a) Usando a definição de campo eletrostático, o campo elétrico no ponto E = dfracsigma2epsilon0 é:
E = dfracsigma2epsilon0
(b) Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico no ponto também é:

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