Um anel de raio R=0,5 m e massa M=2 kg está em repouso, quando um torque constante tau=6,8 N.m na mesma direção do eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro de massa atua durante um tempo de 8 s . Qual o valor da energia cinética do anel em J depois deste tempo? Considere a massa do anel uniformemente distribuída.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio $ R = 0,5 $ metros e massa $ M = 2 $ kg que está parado. Um torque constante de $ \tau = 6,8 $ N·m é aplicado no anel por um tempo de 8 segundos. Queremos descobrir qual será a energia cinética do anel após esses 8 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia, aceleração angular e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque ($ \tau tau éççãóé I I çã \alpha $) é:
alpha
Então, para encontrar a aceleração angular, podemos reorganizar essa fórmula:
tau = I cdot alpha

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) do anel. O momento de inércia depende da distribuição de massa em relação ao eixo de rotação. Para um anel fino girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
I
Onde $ M $ é a massa e $ R $ é o raio do anel.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia com os valores fornecidos:
I = 2, kg cdot (0,5, m)^2 = 2, kg cdot 0,25, m^2 = 0,5, kg·m^2

Passo 5

Agora que temos o momento de inércia, podemos encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) usando a fórmula do torque:
alpha

Passo 6

Com a aceleração angular, podemos determinar a velocidade angular ($ \omega omega óçãã \omega_0 $) é zero. A velocidade angular final é dada por:
omega0

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ($ KE $) do anel usando a fórmula:
KE
Substituindo os valores que encontramos:
KE = 12 I omega^2

Passo 8

Vamos calcular o valor numérico:
KE = 0,25, kg·m^2 cdot 11833,44, rad^2/s^2 = 2958,36, J

Resposta

A energia cinética do anel após 8 segundos é aproximadamente 2958,36 J.

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