Um anel de raio
e massa
está em repouso, quando um torque constante
N.m na mesma direção do eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro de massa atua durante um tempo de 8 s . Qual o valor da energia cinética do anel em
depois deste tempo? Considere a massa do anel uniformemente distribuída.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio $ R = 0,5 $ metros e massa $ M = 2 $ kg que está parado. Um torque constante de $ \tau = 6,8 $ N·m é aplicado no anel por um tempo de 8 segundos. Queremos descobrir qual será a energia cinética do anel após esses 8 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia, aceleração angular e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque ($ \tau
I
\alpha $) é:
Então, para encontrar a aceleração angular, podemos reorganizar essa fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) do anel. O momento de inércia depende da distribuição de massa em relação ao eixo de rotação. Para um anel fino girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Onde $ M $ é a massa e $ R $ é o raio do anel.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia com os valores fornecidos:
Passo 5
Agora que temos o momento de inércia, podemos encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) usando a fórmula do torque:
Passo 6
Com a aceleração angular, podemos determinar a velocidade angular ($ \omega
\omega_0 $) é zero. A velocidade angular final é dada por:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ($ KE $) do anel usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Vamos calcular o valor numérico:
Resposta
A energia cinética do anel após 8 segundos é aproximadamente 2958,36 J.