Um anel de raio está no plano . Neste anel passa uma corrente no sentido anti-horário. Se um campo magnético homogêneo permeia o sistema, qual será o torque que o anel sofrerá? Utilize a equação da força exercida sobre um elemento infinitesimal de comprimento,
e mostre que o torque é proporcional a área que o anel delimita .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um anel de raio no plano com uma corrente circulando no sentido anti-horário. Além disso, temos um campo magnético homogêneo que permeia o anel. O objetivo é encontrar o torque que esse anel sofrerá e mostrar que ele é proporcional à área do anel, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como a força magnética age sobre um elemento infinitesimal do anel e como isso resulta em torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a força magnética em um elemento de comprimento de uma corrente num campo magnético :
Essa é a força exercida sobre um pedacinho do fio devido à corrente e ao campo magnético.

Passo 3

Agora, para encontrar o torque que o anel sofre, precisamos considerar a distância desse elemento de força ao ponto de rotação, que no caso é o centro do anel. O torque é dado pelo produto vetorial da posição pelo elemento de força :
Substituindo a expressão de :

Passo 4

Usando a identidade vetorial , podemos simplificar a expressão do torque:
No nosso caso, e está no plano , então , onde é a coordenada no eixo .

Passo 5

Para encontrar o torque total, integramos ao redor de todo o anel:
Como o anel é circular e simétrico, ao integrar essas expressões, os termos lineares em e vão se anular, restando apenas o termo relacionado ao produto da corrente pela área do anel.

Passo 6

Finalmente, reconhecemos que o torque é perpendicular ao plano do anel e tem magnitude proporcional à área . A expressão final do torque fica:

Resposta

O torque que o anel sofrerá é , ou seja, é proporcional à área do anel.

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