No instante t=0 a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por theta(t)=(250 rad / s)+(20,0 rad / s^2) t^2-(1,50 rad / s^3) t^3.
© Quantas revolucũes foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um motor elétrico de corrente contínua cuja corrente foi invertida no instante theta(t) = 250, rad/s + 20,0, rad/s^2 cdot t^2 - 1,50, rad/s^3 cdot t^3 . Isso gerou um deslocamento angular no eixo do motor descrito pela função:
O conteúdo envolvido aqui é de cinemática rotacional, especificamente análise de deslocamento angular e velocidade angular em função do tempo. Vamos precisar calcular quando a velocidade angular se anula e então determinar quantas voltas o eixo do motor deu nesse intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o momento em que a velocidade angular do motor é zero. A velocidade angular ( omega(t) = dtheta(t)dt = ddt (250, rad/s + 20,0, t^2 - 1,50, t^3 ) ) é a derivada do deslocamento angular omega(t) = 0 + 40, t - 4,50, t^2 em relação ao tempo omega(t) = 40, t - 4,50, t^2 . Vamos calcular a derivada:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo 40, t - 4,50, t^2 = 0 quando a velocidade angular é zero:
t (40 - 4,50, t) = 0
Podemos fatorar t = 404,50 approx 8,89, segundos :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (o instante inicial)
Calculando o segundo valor:

Passo 4

Agora que sabemos que a velocidade angular se anula em aproximadamente theta(8,89) = 250 + 20,0 cdot (8,89)^2 - 1,50 cdot (8,89)^3 segundos, vamos calcular o deslocamento angular nesse intervalo. Usamos a função 8,89^2 approx 79,012 para encontrar quanto o eixo girou entre 20,0 cdot 79,012 approx 1580,25, rad e 8,89^3 approx 703,704 s:
1,50 cdot 703,704 approx 1055,56, rad
Calculando cada termo:
theta(8,89) = 250 + 1580,25 - 1055,56 approx 770,69, rad
De
Então:
O deslocamento angular total desde até s é:

Passo 5

Agora, vamos converter esse deslocamento angular de radianos para revoluções. Sabemos que uma revolução completa é igual a N = De radianos. Então, o número de revoluções ( ) é dado por:
çõ

Resposta

O eixo do motor fez aproximadamente 82,8 revoluções desde a inversão da corrente até a velocidade angular se anular.

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