No instante
a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por
.
© Quantas revolucũes foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou?
© Quantas revolucũes foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um motor elétrico de corrente contínua cuja corrente foi invertida no instante
. Isso gerou um deslocamento angular no eixo do motor descrito pela função:
O conteúdo envolvido aqui é de cinemática rotacional, especificamente análise de deslocamento angular e velocidade angular em função do tempo. Vamos precisar calcular quando a velocidade angular se anula e então determinar quantas voltas o eixo do motor deu nesse intervalo de tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o momento em que a velocidade angular do motor é zero. A velocidade angular (
) é a derivada do deslocamento angular
em relação ao tempo
. Vamos calcular a derivada:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o tempo
quando a velocidade angular é zero:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(o instante inicial) -
Calculando o segundo valor:
Passo 4
Agora que sabemos que a velocidade angular se anula em aproximadamente
segundos, vamos calcular o deslocamento angular nesse intervalo. Usamos a função
para encontrar quanto o eixo girou entre
e
s:
Calculando cada termo:
Então:
O deslocamento angular total desde
até
s é:
Passo 5
Agora, vamos converter esse deslocamento angular de radianos para revoluções. Sabemos que uma revolução completa é igual a
radianos. Então, o número de revoluções (
) é dado por:
Resposta
O eixo do motor fez aproximadamente 82,8 revoluções desde a inversão da corrente até a velocidade angular se anular.