Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme
, orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético
.
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético
no centro da trajetória circular, em termos do módulo do campo externo
, do raio da órbita
, da carga
na partícula e sua massa
.
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético
Passo 1
Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula carregada que se move em um campo magnético uniforme
, fazendo com que ela siga uma trajetória circular. Queremos encontrar a expressão para o campo magnético criado pela própria partícula,
, no centro dessa trajetória. Para isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e campo magnético gerado por uma corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a força magnética que atua na partícula com a força centrípeta que mantém a trajetória circular. A força magnética é dada por:
E a força centrípeta é:
Como a partícula está se movendo em um círculo, essas duas forças devem ser iguais:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade
da partícula. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o campo magnético
criado pela partícula no centro da trajetória. Para isso, consideramos que a partícula em movimento gera uma corrente equivalente. A corrente
de uma partícula carregada que se move em uma trajetória circular é:
Onde
é o período da órbita.
Passo 5
Sabemos que o período
está relacionado com a velocidade e o raio pela fórmula:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Portanto, a corrente
é:
Passo 6
O campo magnético no centro de um circuito circular de raio
gerado por uma corrente
é dado por:
Onde
é a permeabilidade do vácuo. Porém, como não foi especificado, podemos considerar que
para simplificar, ou mantê-lo na expressão final.
Passo 7
Substituindo a expressão de
na fórmula de
:
Resposta
A magnitude do campo magnético
no centro da trajetória é: