Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme B ext , orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético Bp.
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético Bp no centro da trajetória circular, em termos do módulo do campo externo B ext , do raio da órbita R, da carga q na partícula e sua massa m.

Passo 1

Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula carregada que se move em um campo magnético uniforme , fazendo com que ela siga uma trajetória circular. Queremos encontrar a expressão para o campo magnético criado pela própria partícula, , no centro dessa trajetória. Para isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e campo magnético gerado por uma corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a força magnética que atua na partícula com a força centrípeta que mantém a trajetória circular. A força magnética é dada por:
Fmag = q v Bext
E a força centrípeta é:
Fcentrípeta = m v^2R í
Como a partícula está se movendo em um círculo, essas duas forças devem ser iguais:
q v Bext = m v^2R

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade q Bext = m vR da partícula. Dividindo ambos os lados por v = q Bext Rm , temos:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo magnético I = qT criado pela partícula no centro da trajetória. Para isso, consideramos que a partícula em movimento gera uma corrente equivalente. A corrente de uma partícula carregada que se move em uma trajetória circular é:
Onde é o período da órbita.

Passo 5

Sabemos que o período T = 2pi Rv está relacionado com a velocidade e o raio pela fórmula:
T = 2pi Rq Bext Rm = 2pi mq Bext
Substituindo o valor de I = q2pi mq Bext = q^2 Bext2pi m que encontramos:
Portanto, a corrente é:

Passo 6

O campo magnético no centro de um circuito circular de raio Bp = mu0 I2 R gerado por uma corrente é dado por:
Onde é a permeabilidade do vácuo. Porém, como não foi especificado, podemos considerar que para simplificar, ou mantê-lo na expressão final.

Passo 7

Substituindo a expressão de Bp = mu02 R cdot q^2 Bext2pi m = mu0 q^2 Bext4pi m R na fórmula de :

Resposta

A magnitude do campo magnético Bp = mu0 q^2 Bext4pi m R no centro da trajetória é:

Exercícios relacionados