O anel possui unidade? Justifique.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que está sendo pedido na questão. Temos o anel , que é o conjunto dos números inteiros pares com as operações usuais de adição e multiplicação. O problema pergunta se esse anel possui uma unidade, ou seja, um elemento que atua como o elemento neutro na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma unidade em um anel. Uma unidade (ou elemento neutro multiplicativo) é um elemento dentro do anel tal que, para qualquer elemento do anel, temos .

Passo 3

Vamos supor que existe tal elemento no anel . Como consiste em todos os múltiplos de 2, podemos escrever para algum inteiro .

Passo 4

Para que seja a unidade, ele deve satisfazer a propriedade para todo . Vamos verificar isso substituindo por e por , onde é um inteiro.

Passo 5

Igualando a para que a propriedade da unidade seja satisfeita, temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

No entanto, deve ser um inteiro, já que estamos em . Portanto, não existe um inteiro que satisfaça .

Resposta

Concluímos que o anel não possui unidade, pois não existe um elemento dentro dele que possa atuar como o elemento neutro da multiplicação.

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