O anel
possui unidade? Justifique.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que está sendo pedido na questão. Temos o anel
, que é o conjunto dos números inteiros pares com as operações usuais de adição e multiplicação. O problema pergunta se esse anel possui uma unidade, ou seja, um elemento que atua como o elemento neutro na multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma unidade em um anel. Uma unidade (ou elemento neutro multiplicativo) é um elemento
dentro do anel tal que, para qualquer elemento
do anel, temos
.
Passo 3
Vamos supor que existe tal elemento
no anel
. Como
consiste em todos os múltiplos de 2, podemos escrever
para algum inteiro
.
Passo 4
Para que
seja a unidade, ele deve satisfazer a propriedade
para todo
. Vamos verificar isso substituindo
por
e
por
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Igualando
a
para que a propriedade da unidade seja satisfeita, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
No entanto,
deve ser um inteiro, já que estamos em
. Portanto, não existe um inteiro
que satisfaça
.
Resposta
Concluímos que o anel
não possui unidade, pois não existe um elemento dentro dele que possa atuar como o elemento neutro da multiplicação.
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