Scja Z[raiz2]=a+b raiz2, com a, b in Z
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em Z[raiz2].

Passo 1

Então, temos que mostrar que, se a gente adicionar ou multiplicar dois números do tipo , onde e são inteiros, o resultado ainda vai ser um número desse mesmo tipo. Isso cai na matéria de Álgebra, especificamente em estruturas numéricas e operações. Para resolver, vamos ver o que acontece quando a gente adiciona e multiplica dois desses números e provar que os resultados também têm a forma , com e inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a adição. Suponha que temos dois números da forma (a + braiz2) + (c + draiz2) = (a + c) + (b + d)raiz2 e , onde são inteiros. A soma desses dois números é:
Aqui, estamos simplesmente somando as partes inteiras e as partes com separadamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o resultado da adição ainda pertence a . Como são inteiros, então e também são inteiros. Logo, a soma está na forma com , ou seja, pertence a .

Passo 4

Agora vamos para a multiplicação. Usando os mesmos números (a + braiz2)(c + draiz2) = ac + adraiz2 + bcraiz2 + bd(raiz2)^2 e ac + adraiz2 + bcraiz2 + 2bd = (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2 , multiplicamos assim:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Vamos verificar se o resultado da multiplicação está em . Novamente, como são inteiros, então e também são inteiros. Portanto, a multiplicação resulta em , que está na forma com , ou seja, pertence a .

Resposta

Assim, mostramos que tanto a adição quanto a multiplicação de números em resultam em números que também estão em , provando que esse conjunto é fechado em relação a essas operações.

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