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com
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em
.
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em
Passo 1
Então, temos que mostrar que, se a gente adicionar ou multiplicar dois números do tipo
, onde
e
são inteiros, o resultado ainda vai ser um número desse mesmo tipo. Isso cai na matéria de Álgebra, especificamente em estruturas numéricas e operações. Para resolver, vamos ver o que acontece quando a gente adiciona e multiplica dois desses números e provar que os resultados também têm a forma
, com
e
inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a adição. Suponha que temos dois números da forma
e
, onde
são inteiros. A soma desses dois números é:
Aqui, estamos simplesmente somando as partes inteiras e as partes com
separadamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o resultado da adição ainda pertence a
. Como
são inteiros, então
e
também são inteiros. Logo, a soma
está na forma
com
, ou seja, pertence a
.
Passo 4
Agora vamos para a multiplicação. Usando os mesmos números
e
, multiplicamos assim:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Vamos verificar se o resultado da multiplicação está em
. Novamente, como
são inteiros, então
e
também são inteiros. Portanto, a multiplicação resulta em
, que está na forma
com
, ou seja, pertence a
.
Resposta
Assim, mostramos que tanto a adição quanto a multiplicação de números em
resultam em números que também estão em
, provando que esse conjunto é fechado em relação a essas operações.
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.
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