Scja com
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em .

Passo 1

Então, temos que mostrar que, se a gente adicionar ou multiplicar dois números do tipo , onde e são inteiros, o resultado ainda vai ser um número desse mesmo tipo. Isso cai na matéria de Álgebra, especificamente em estruturas numéricas e operações. Para resolver, vamos ver o que acontece quando a gente adiciona e multiplica dois desses números e provar que os resultados também têm a forma , com e inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a adição. Suponha que temos dois números da forma e , onde são inteiros. A soma desses dois números é:
Aqui, estamos simplesmente somando as partes inteiras e as partes com separadamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o resultado da adição ainda pertence a . Como são inteiros, então e também são inteiros. Logo, a soma está na forma com , ou seja, pertence a .

Passo 4

Agora vamos para a multiplicação. Usando os mesmos números e , multiplicamos assim:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Vamos verificar se o resultado da multiplicação está em . Novamente, como são inteiros, então e também são inteiros. Portanto, a multiplicação resulta em , que está na forma com , ou seja, pertence a .

Resposta

Assim, mostramos que tanto a adição quanto a multiplicação de números em resultam em números que também estão em , provando que esse conjunto é fechado em relação a essas operações.

Exercícios relacionados

Determinar os focos e retas assíntotas da hipérbole dada por equações Paramétricas
O anel possui unidade? Justifique.
Encontre uma equação da elípse com focos e , e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.
Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.