Determinar os focos e retas assíntotas da hipérbole dada por equações Paramétricas
l y=2+3 tg theta x=1+4 sec theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos e as retas assíntotas da hipérbole que está definida pelas equações paramétricas:
l y = 2 + 3 tan theta x = 1 + 4 sec theta
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro e colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Depois, a partir daí, a gente consegue encontrar os focos e as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro x = 1 + 4 sec theta e y = 2 + 3 tan theta das equações paramétricas para obter a equação geral da hipérbole. Temos:
sec^2 theta - tan^2 theta = 1
Sabemos que sec theta = x - 14 e tan theta = y - 23 e (x - 14)^2 - (y - 23)^2 = 1 . Mas uma maneira mais direta de eliminar é usar a identidade trigonométrica:
Vamos isolar e das equações paramétricas:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:

Passo 3

Agora temos a equação da hipérbole na forma padrão:
(x - 1)^216 - (y - 2)^29 = 1
Essa é a forma canônica da hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo . Aqui, , , e .

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 + b^2
Substituindo os valores:
c = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Os focos estão localizados a uma distância F1 = (h + c, k) = (1 + 5, 2) = (6, 2) do centro F2 = (h - c, k) = (1 - 5, 2) = (-4, 2) ao longo do eixo transversal. Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as retas assíntotas da hipérbole. A equação das assíntotas para uma hipérbole da forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
é dada por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores que já temos:
y = 2 pm 34(x - 1)
Simplificando, teremos as duas retas assíntotas:
y = 34x + 54 e y = -34x + 114

Resposta

Os focos da hipérbole são os pontos y = 34x + 54 e y = -34x + 114 e . As retas assíntotas da hipérbole são dadas pelas equações:

Exercícios relacionados