Determinar os focos e retas assíntotas da hipérbole dada por equações Paramétricas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos e as retas assíntotas da hipérbole que está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro e colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Depois, a partir daí, a gente consegue encontrar os focos e as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro das equações paramétricas para obter a equação geral da hipérbole. Temos:
Sabemos que e . Mas uma maneira mais direta de eliminar é usar a identidade trigonométrica:
Vamos isolar e das equações paramétricas:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:

Passo 3

Agora temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Essa é a forma canônica da hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo . Aqui, , , e .

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo transversal. Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as retas assíntotas da hipérbole. A equação das assíntotas para uma hipérbole da forma:
é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando, teremos as duas retas assíntotas:

Resposta

Os focos da hipérbole são os pontos e . As retas assíntotas da hipérbole são dadas pelas equações:

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