Determinar os focos e retas assíntotas da hipérbole dada por equações Paramétricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos e as retas assíntotas da hipérbole que está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro
e colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Depois, a partir daí, a gente consegue encontrar os focos e as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
das equações paramétricas para obter a equação geral da hipérbole. Temos:
Sabemos que
e
. Mas uma maneira mais direta de eliminar
é usar a identidade trigonométrica:
Vamos isolar
e
das equações paramétricas:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Passo 3
Agora temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Essa é a forma canônica da hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo
. Aqui,
,
,
e
.
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro
ao longo do eixo transversal. Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as retas assíntotas da hipérbole. A equação das assíntotas para uma hipérbole da forma:
é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando, teremos as duas retas assíntotas:
Resposta
Os focos da hipérbole são os pontos
e
. As retas assíntotas da hipérbole são dadas pelas equações:
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possui unidade? Justifique.
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, polinômios de grau maior igual a 1 sobre
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Scja
com
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em .
Mostre que a adição e multiplicação de números reais é fechada em
Encontre uma equação da elípse com focos
e
, e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.