Mostre que
, polinômios de grau maior igual a 1 sobre
, é um anel comutativo com unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
, que representa polinômios de grau maior ou igual a 1 com coeficientes inteiros, é um anel comutativo com unidade. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades que definem um anel comutativo com unidade, ou seja, as operações de adição e multiplicação seguem certas regras e existe um elemento neutro na multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo com unidade. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que devem satisfazer alguns axiomas. Para ser comutativo, a multiplicação deve ser comutativa, ou seja,
para quaisquer elementos
no anel. Além disso, deve existir um elemento neutro para a multiplicação, chamado de unidade, que satisfaz
para todo
no anel.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição em
. A adição de polinômios é feita somando os coeficientes correspondentes:
Essa operação é associativa e comutativa porque a soma dos inteiros é associativa e comutativa. Além disso, o elemento neutro da adição é o polinômio
, que não altera nenhum polinômio quando somado.
Passo 4
Agora, vamos ver a multiplicação em
. Multiplicamos os polinômios usando a distributividade:
Como estamos considerando polinômios de grau maior ou igual a 1, mas com coeficientes inteiros, essa multiplicação está bem definida. A multiplicação de polinômios é associativa e, como a multiplicação de inteiros é comutativa, a multiplicação de polinômios também é comutativa.
Passo 5
Em relação ao elemento neutro da multiplicação, devemos encontrar um polinômio que, quando multiplicado por qualquer polinômio
, retorna o mesmo polinômio. Esse polinômio é
, já que:
Portanto,
atua como a unidade no anel
.
Passo 6
Por fim, precisamos verificar a distributividade da multiplicação sobre a adição:
E
Essas propriedades são satisfeitas pela forma como multiplicamos polinômios, distribuindo cada termo corretamente.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com unidade, confirmando que
é realmente um anel comutativo com unidade.