Mostre que A=Z[X]=a0+a1 X ; a0, a1 in Z, polinômios de grau maior igual a 1 sobre Z, é um anel comutativo com unidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto , que representa polinômios de grau maior ou igual a 1 com coeficientes inteiros, é um anel comutativo com unidade. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um anel comutativo com unidade, ou seja, as operações de adição e multiplicação seguem certas regras e existe um elemento neutro na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo com unidade. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que devem satisfazer alguns axiomas. Para ser comutativo, a multiplicação deve ser comutativa, ou seja, para quaisquer elementos no anel. Além disso, deve existir um elemento neutro para a multiplicação, chamado de unidade, que satisfaz para todo no anel.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição em (a0 + a1X) + (b0 + b1X) = (a0 + b0) + (a1 + b1)X . A adição de polinômios é feita somando os coeficientes correspondentes:
Essa operação é associativa e comutativa porque a soma dos inteiros é associativa e comutativa. Além disso, o elemento neutro da adição é o polinômio , que não altera nenhum polinômio quando somado.

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação em (a0 + a1X) cdot (b0 + b1X) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + a1b1X^2 . Multiplicamos os polinômios usando a distributividade:
Como estamos considerando polinômios de grau maior ou igual a 1, mas com coeficientes inteiros, essa multiplicação está bem definida. A multiplicação de polinômios é associativa e, como a multiplicação de inteiros é comutativa, a multiplicação de polinômios também é comutativa.

Passo 5

Em relação ao elemento neutro da multiplicação, devemos encontrar um polinômio que, quando multiplicado por qualquer polinômio (a0 + a1X) cdot (1 + 0X) = a0 cdot 1 + a0 cdot 0X + a1 cdot 1X + a1 cdot 0X^2 = a0 + a1X , retorna o mesmo polinômio. Esse polinômio é , já que:
Portanto, atua como a unidade no anel .

Passo 6

Por fim, precisamos verificar a distributividade da multiplicação sobre a adição:
(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c
E
a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c
Essas propriedades são satisfeitas pela forma como multiplicamos polinômios, distribuindo cada termo corretamente.

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com unidade, confirmando que é realmente um anel comutativo com unidade.

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