Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
[(1,2,0),(2,4,0)] é um plano no R^3 que passa pela origem.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. O exercício nos pede para verificar se a afirmação " [(1,2,0),(2,4,0)] é um plano no R^3 que passa pela origem" é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos saber como identificar se um conjunto de vetores define um plano no espaço tridimensional e se esse plano passa pela origem.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que um plano no R^3 pode ser definido por dois vetores que são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Se os vetores forem linearmente dependentes, eles não formam um plano, mas sim uma reta.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores (1,2,0) e (2,4,0) são linearmente independentes. Para isso, observamos se existe um escalar k tal que (2,4,0) = k cdot (1,2,0). Se calcularmos, vemos que k = 2 satisfaz a igualdade, pois 2 cdot (1,2,0) = (2,4,0).

Passo 4

Como encontramos que um escalar existe para relacionar os dois vetores, isso significa que eles são linearmente dependentes. Portanto, eles não definem um plano, mas sim uma reta no R^3. Além disso, mesmo que os vetores passem pela origem, a dependência linear impede que formem um plano.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados