O ângulo entre e é de , e seus comprimentos são 1 e 7 , respectivamente. Calcule e . Resp: 7/2 e 126.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 30 graus e que os comprimentos desses vetores são 1 e 7, respectivamente. Precisamos calcular o módulo do produto vetorial e também . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o módulo do produto vetorial entre dois vetores:
Onde:
  • e são os comprimentos dos vetores u e v.
  • é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula usando os valores fornecidos:
Sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Primeiro, lembramos que quando multiplicamos um vetor por um escalar, o módulo do vetor também é multiplicado por esse escalar. Além disso, o produto vetorial é distributivo em relação à multiplicação por escalar:
No nosso caso, e :

Passo 5

Substituindo o valor que já encontramos para :

Resposta

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a) Se são LI em então são LI em .
b) Se então .
a) Não existe transformação linear injetora de em .
b) Não existe transformação linear sobrejetora de em .
Calcule . Resp: , pois o segundo é o produto de pelo primeiro.
Demonstre as relações
(a) .
(b) .