O ângulo entre u e v é de 30^circ, e seus comprimentos são 1 e 7 , respectivamente. Calcule |u times v| e |4 u times 9 v|. Resp: 7/2 e 126.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 30 graus e que os comprimentos desses vetores são 1 e 7, respectivamente. Precisamos calcular o módulo do produto vetorial e também . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o módulo do produto vetorial entre dois vetores:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde:
  • e são os comprimentos dos vetores u e v.
  • é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula usando os valores fornecidos:
|u times v| = 1 cdot 7 cdot sin(30^circ)
Sabemos que |u times v| = 1 cdot 7 cdot 12 = 72 . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular |au times bv| = |a| cdot |b| cdot |u times v| . Primeiro, lembramos que quando multiplicamos um vetor por um escalar, o módulo do vetor também é multiplicado por esse escalar. Além disso, o produto vetorial é distributivo em relação à multiplicação por escalar:
|4u times 9v| = 4 cdot 9 cdot |u times v|
No nosso caso, e :

Passo 5

Substituindo o valor que já encontramos para |4u times 9v| = 4 cdot 9 cdot 72 = 36 cdot 72 = 18 cdot 7 = 126 :

Resposta

|u times v| = 72 e |4 u times 9 v| = 126

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