a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nos dois itens que você trouxe. Ambos falam sobre transformações lineares e suas propriedades de injeção e sobrejeção. A gente vai precisar entender um pouco sobre dimensões de espaços vetoriais e como elas influenciam na existência dessas transformações. Bora resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos:
-
é o espaço das matrizes com entradas reais. A dimensão desse espaço é . -
é o espaço vetorial de 5 dimensões.
Uma transformação linear
é injetora se cada elemento de
mapeia para um elemento único em
, ou seja, o núcleo de
é apenas o vetor zero.
Agora, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Se
fosse injetora, então
, o que implica:
Mas
está contido em
, que tem dimensão 5. Ou seja, não dá para ter uma imagem de dimensão 6 dentro de um espaço de dimensão 5. Isso é impossível!
Passo 3
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.
Vamos entender os espaços:
-
, os números complexos, podem ser vistos como um espaço vetorial sobre com dimensão 2 (por exemplo, pares onde é um número complexo). -
é o espaço das polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 3 (bases típicas: ).
Uma transformação linear
é sobrejetora se todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
, ou seja,
.
Usando o Teorema do Núcleo e da Imagem novamente:
Para
ser sobrejetora,
. Mas
, então:
Isso não faz sentido, já que dimensão não pode ser negativa. Portanto, não pode existir uma transformação linear sobrejetora nesse caso.
Resposta
a) Não existe transformação linear injetora de
em
.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de
em
.