a) Não existe transformação linear injetora de M2 times 3 em R^5.
b) Não existe transformação linear sobrejetora de C em P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nos dois itens que você trouxe. Ambos falam sobre transformações lineares e suas propriedades de injeção e sobrejeção. A gente vai precisar entender um pouco sobre dimensões de espaços vetoriais e como elas influenciam na existência dessas transformações. Bora resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Não existe transformação linear injetora de dim(V) = dim(Ker T) + dim(Im T) em dim(Im T) = dim(V) = 6 .
Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos:
  • é o espaço das matrizes com entradas reais. A dimensão desse espaço é .
  • é o espaço vetorial de 5 dimensões.
Uma transformação linear é injetora se cada elemento de mapeia para um elemento único em , ou seja, o núcleo de é apenas o vetor zero.
Agora, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Se fosse injetora, então , o que implica:
Mas está contido em , que tem dimensão 5. Ou seja, não dá para ter uma imagem de dimensão 6 dentro de um espaço de dimensão 5. Isso é impossível!

Passo 3

b) Não existe transformação linear sobrejetora de dim(V) = dim(Ker T) + dim(Im T) em 2 = dim(Ker T) + 3 .
Vamos entender os espaços:
  • dim(Ker T) = -1 , os números complexos, podem ser vistos como um espaço vetorial sobre com dimensão 2 (por exemplo, pares onde é um número complexo).
  • é o espaço das polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 3 (bases típicas: ).
Uma transformação linear é sobrejetora se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de , ou seja, .
Usando o Teorema do Núcleo e da Imagem novamente:
Para ser sobrejetora, . Mas , então:
Isso não faz sentido, já que dimensão não pode ser negativa. Portanto, não pode existir uma transformação linear sobrejetora nesse caso.

Resposta

a) Não existe transformação linear injetora de em .
b) Não existe transformação linear sobrejetora de em .

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