Demonstre as relações
(a) .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente demonstrar duas relações envolvendo o produto vetorial de dois vetores e . O conteúdo aqui é de Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial e suas propriedades. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona o módulo (ou tamanho) do produto vetorial e as condições para que esse módulo atinja certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que .
O módulo do produto vetorial é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores e .
Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre e , mas como estamos falando de módulos, consideramos apenas valores positivos:
Portanto,
Isso mostra que o módulo do produto vetorial nunca excede o produto dos módulos dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos demonstrar que se e somente se for perpendicular a .
Da fórmula que usamos antes:
Para que , precisamos que:
Isso acontece quando , ou seja, quando os vetores e são perpendiculares (ortogonais).
Portanto,

Resposta

Demonstramos que:
(a) ,
(b) se e somente se for perpendicular a .

Exercícios relacionados

Calcule . Resp: , pois o segundo é o produto de pelo primeiro.
O ângulo entre e é de , e seus comprimentos são 1 e 7 , respectivamente. Calcule e . Resp: 7/2 e 126.
Sendo uma base ortonormal positiva, calcule . Resp:
Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
prove que .