Demonstre as relações
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente demonstrar duas relações envolvendo o produto vetorial de dois vetores
e
. O conteúdo aqui é de Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial e suas propriedades. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona o módulo (ou tamanho) do produto vetorial e as condições para que esse módulo atinja certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
.
O módulo do produto vetorial
é dado por:
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre
e
, mas como estamos falando de módulos, consideramos apenas valores positivos:
Portanto,
Isso mostra que o módulo do produto vetorial nunca excede o produto dos módulos dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos demonstrar que
se e somente se
for perpendicular a
.
Da fórmula que usamos antes:
Para que
, precisamos que:
Isso acontece quando
, ou seja, quando os vetores
e
são perpendiculares (ortogonais).
Portanto,
Resposta
Demonstramos que:
(a) ,
(b) se e somente se
for perpendicular a
.
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Calcule
. Resp:
, pois o segundo é o produto de
pelo primeiro.
O ângulo entre
e
é de
, e seus comprimentos são 1 e 7 , respectivamente. Calcule
e
. Resp: 7/2 e 126.
Sendo
uma base ortonormal positiva, calcule
. Resp:
Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
prove que
.