Demonstre as relações
(a) |u times v| <=|u||v|.
(b) |u times v|=|u| v mid Long<=ftrightarrow u perp v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente demonstrar duas relações envolvendo o produto vetorial de dois vetores e . O conteúdo aqui é de Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial e suas propriedades. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona o módulo (ou tamanho) do produto vetorial e as condições para que esse módulo atinja certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que |u times v| = |u||v|sin(theta) .
O módulo do produto vetorial 0 <= sin(theta) <= 1 é dado por:
|u times v| = |u||v|sin(theta) <= |u||v|
onde é o ângulo entre os vetores e .
Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre e , mas como estamos falando de módulos, consideramos apenas valores positivos:
Portanto,
Isso mostra que o módulo do produto vetorial nunca excede o produto dos módulos dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos demonstrar que |u times v| = |u||v|sin(theta) se e somente se sin(theta) = 1 for perpendicular a |u times v| = |u||v| iff u perp v .
Da fórmula que usamos antes:
Para que , precisamos que:
Isso acontece quando , ou seja, quando os vetores e são perpendiculares (ortogonais).
Portanto,

Resposta

Demonstramos que:
(a) ,
(b) se e somente se for perpendicular a .

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