Qual angulo theta o pêndulo faz com o vertical dele (i…e, com o eixo dele) se ele acelera com uma aceleração a no plano inclinado do caso (B) mas dessa vez para cima dele?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta quer saber qual é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical quando ele está em um plano inclinado que está acelerando para cima com uma aceleração . Vamos usar conceitos de forças em planos inclinados e equilíbrio de forças para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o pêndulo no plano inclinado. Como o plano está acelerando para cima com aceleração , isso gera uma força adicional que afeta o equilíbrio do pêndulo. Precisamos analisar todas as forças atuando no pêndulo.

Passo 3

As forças que atuam no pêndulo são:
  1. Peso ( ): É a força da gravidade puxando o pêndulo para baixo, , onde é a massa do pêndulo e é a aceleração da gravidade.
  2. Força de tensão ( ): É a força no fio do pêndulo que mantém o pêndulo em equilíbrio.
  3. Força devido à aceleração do plano ( ): Como o plano está acelerando para cima, essa força é .

Passo 4

Vamos decompor o peso em duas componentes:
  • Paralela ao plano inclinado:
  • Perpendicular ao plano inclinado:
    Aqui, é o ângulo do plano inclinado em relação à horizontal.

Passo 5

A força adicional devido à aceleração do plano também precisa ser decomposta:
  • Paralela ao plano inclinado:
  • Perpendicular ao plano inclinado:

Passo 6

No equilíbrio, a soma das forças paralelas ao plano deve ser equilibrada pela componente da tensão que contraria essas forças. Assim:
T sin(theta) = mg sin(alpha) + ma sin(alpha)
Simplificando, temos:
T sin(theta) = m(g + a) sin(alpha)

Passo 7

Da mesma forma, para as forças perpendiculares ao plano:
T cos(theta) = mg cos(alpha) - ma cos(alpha)
Simplificando:
T cos(theta) = m(g - a) cos(alpha)

Passo 8

Dividindo a equação do passo 6 pela equação do passo 7 para eliminar T sin(theta)T cos(theta) = (g + a) sin(alpha)(g - a) cos(alpha) :
tan(theta) = (g + a) sin(alpha)(g - a) cos(alpha)
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar theta = arctan( (g + a) sin(alpha)(g - a) cos(alpha) ) , tiramos o arco-tangente de ambos os lados:

Resposta

O ângulo theta = arctan( (g + a) sin(alpha)(g - a) cos(alpha) ) que o pêndulo faz com a vertical é dado por:

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