O ângulo entre os vetores da base canônica do R^2 pertence a qual dos seguintes intervalos (extremos dados em radianos) ?
(A) [0, pi6)
(B) [pi6, pi4)
© [pi4, pi3)
(D) [pi3, pi2)
(E) [pi2, 2 pi3)
(F) [2 pi3, 3 pi4)
(G) [3 pi4, 5 pi6)
(H) [5 pi6, pi]
(I) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir em qual intervalo o ângulo entre os vetores da base canônica de se encaixa. Aqui, estamos trabalhando com geometria vetorial, especificamente analisando ângulos entre vetores. Para resolver, vamos precisar saber o que são a base canônica e como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de . Ela é formada pelos vetores e . Esses vetores são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo reto entre si.

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre cos(theta) = u cdot v|u| |v| e , usamos a definição de produto escalar. A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Calculando o produto escalar de e1 cdot e2 = (1)(0) + (0)(1) = 0 e |e1| = raiz1^2 + 0^2 = 1 |e2| = raiz0^2 + 1^2 = 1 :
As normas dos vetores são:

Passo 5

Substituindo na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 01 times 1 = 0
Sabendo que , o ângulo é radianos, que é 90 graus.

Passo 6

Agora, analisamos as opções disponíveis para ver em qual intervalo se encaixa:
  • (D)
  • (E)
Observe que está incluso no intervalo da opção (E) e não na opção (D), já que (D) termina antes de .

Resposta

(E)

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