Determine um polinômio p(x)=a x^2+b x+c tal que p(1)=-1, p(2)=5, p(-1)=7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio do segundo grau, que tem a forma . O problema nos dá três valores específicos de para , e . Usaremos esses pontos para descobrir os coeficientes , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de a(1)^2 + b(1) + c = -1 Rightarrow a + b + c = -1 e os resultados de a(2)^2 + b(2) + c = 5 Rightarrow 4a + 2b + c = 5 na equação do polinômio:
  1. Quando a(-1)^2 + b(-1) + c = 7 Rightarrow a - b + c = 7 , a + b + c = -1 4a + 2b + c = 5 a - b + c = 7 :
  2. Quando , :
  3. Quando , :
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira:
  1. Subtraindo a primeira da segunda:
    (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - (-1) 3a + b = 6 (Equação 4) çã
  2. Subtraindo a primeira da terceira:
    (a - b + c) - (a + b + c) = 7 - (-1) -2b = 8 Rightarrow b = -4
Agora que encontramos 3a + (-4) = 6 Rightarrow 3a = 10 Rightarrow a = 103 , vamos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar 103 + (-4) + c = -1 103 - 123 + c = -1 -23 + c = -1 Rightarrow c = -1 + 23 = -13 :
Por fim, vamos substituir os valores de e na primeira equação para encontrar :

Resposta

O polinômio procurado é:
p(x) = 103x^2 - 4x - 13

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