Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço de M(2,2)
S=[ll a & b c & d ] in M(2,2): b=a+c e d=c
Gabarito: dim S=2 e uma base de S é [ll1 & 1 0 & 0],[ll0 & 1 1 & 1]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço de todas as matrizes [cc a & b c & d ] , chamado . O subespaço que queremos analisar consiste em matrizes dessa forma:
Mas nem todas as matrizes estão em . Para uma matriz estar em , ela precisa satisfazer duas condições:
Então, precisamos descobrir qual é a dimensão de (ou seja, quantas direções independentes existem nesse subespaço) e encontrar uma base para (um conjunto de matrizes que geram todo o espaço sem serem redundantes).

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as condições dadas para simplificar a forma das matrizes em b = a + c e d = c . Sabemos que:
[cc a & a + c c & c ]
Então, podemos reescrever qualquer matriz em como:

Passo 3

Agora, vamos separar essa matriz em combinações lineares de [cc a & a + c c & c ] = a cdot [cc 1 & 1 0 & 0 ] + c cdot [cc 0 & 1 1 & 1 ] e [cc 1 & 1 0 & 0 ] e [cc 0 & 1 1 & 1 ] . Observamos que:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes:

Passo 4

Para determinar a dimensão de k1 cdot [cc 1 & 1 0 & 0 ] + k2 cdot [cc 0 & 1 1 & 1 ] = [cc 0 & 0 0 & 0 ] , precisamos verificar se essas duas matrizes são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base para k1 = 0 k1 + k2 = 0 k2 = 0 k2 = 0 e a dimensão será 2.
Vamos supor que exista uma combinação linear que dá a matriz zero:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução para esse sistema é e , o que significa que as duas matrizes são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão de [cc 1 & 1 0 & 0 ], [cc 0 & 1 1 & 1 ] é 2 e uma base para é:

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