Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço de
Gabarito: e uma base de é
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço de todas as matrizes , chamado . O subespaço que queremos analisar consiste em matrizes dessa forma:
Mas nem todas as matrizes estão em . Para uma matriz estar em , ela precisa satisfazer duas condições:
Então, precisamos descobrir qual é a dimensão de (ou seja, quantas direções independentes existem nesse subespaço) e encontrar uma base para (um conjunto de matrizes que geram todo o espaço sem serem redundantes).
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as condições dadas para simplificar a forma das matrizes em . Sabemos que:
Então, podemos reescrever qualquer matriz em como:
Passo 3
Agora, vamos separar essa matriz em combinações lineares de e . Observamos que:
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes:
Passo 4
Para determinar a dimensão de , precisamos verificar se essas duas matrizes são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base para e a dimensão será 2.
Vamos supor que exista uma combinação linear que dá a matriz zero:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução para esse sistema é e , o que significa que as duas matrizes são linearmente independentes.
Resposta
A dimensão de [cc 1 & 1 0 & 0 ], [cc 0 & 1 1 & 1 ] é 2 e uma base para é: