Se u, v, w in V são tais que (u-w) perp(v-w),|u-w|=9 e |v-w|=6, então |T(u)-T(v)| pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A) [0,1)
(B) [1,2)
© [2,3)
(D) [3,4)
(E) [4,5)
(F) [5,6)
(G) [6,7)
(H) [7,8)
(I) [8,9)
(J) [9,10)
(K) [10,11)
(L) [11,12

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores em um espaço vetorial e algumas condições:
  1. é perpendicular a .
  2. A norma de é 9, ou seja, .
  3. A norma de é 6, ou seja, .
A pergunta quer saber em qual intervalo a norma de se encaixa, onde é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especificamente sobre normas e produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se dois vetores são perpendiculares, o produto interno entre eles é zero. Ou seja, se (u - w) cdot (v - w) = 0 , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de |u - v|^2 = |u - w + w - v|^2 = |u - w|^2 + |v - w|^2 + 2(u - w) cdot (w - v) . Usando a propriedade do produto interno, temos:
|u - v|^2 = |u - w|^2 + |v - w|^2
Mas, como |u - v|^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117 , o produto interno é zero. Assim:
|u - v| = raiz117 = 3raiz13

Passo 4

Sabemos que T(u) - T(v) = T(u - v) é uma transformação linear, então ela satisfaz a propriedade:
Então, a norma de é igual à norma de .

Passo 5

Vamos usar a desigualdade que relaciona a norma de uma transformação linear |T(x)| <= |T| cdot |x| com a norma do vetor:
Onde é a norma da transformação linear .

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso:
|T(u) - T(v)| = |T(u - v)| <= |T| cdot |u - v|
Sabemos que |T(u) - T(v)| <= 1 cdot 3raiz13 approx 10.816 . Mas para prosseguir, precisamos de mais informações sobre , que não foram fornecidas na questão.
No entanto, se assumirmos que (o que é comum em exercícios desse tipo para simplificação), então:

Passo 7

Portanto, a norma será menor ou igual a aproximadamente 10.816. Observando os intervalos fornecidos nas opções, vemos que 10.816 está entre 10 e 11.

Resposta

A norma pertence ao intervalo (K) .

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