Se
são tais que
e
, então
pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)
(Sugestão: Use o (A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores
em um espaço vetorial
e algumas condições:
-
é perpendicular a . - A norma de
é 9, ou seja, . - A norma de
é 6, ou seja, .
A pergunta quer saber em qual intervalo a norma de
se encaixa, onde
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especificamente sobre normas e produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se dois vetores são perpendiculares, o produto interno entre eles é zero. Ou seja, se
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de
. Usando a propriedade do produto interno, temos:
Mas, como
, o produto interno é zero. Assim:
Passo 4
Sabemos que
é uma transformação linear, então ela satisfaz a propriedade:
Então, a norma de
é igual à norma de
.
Passo 5
Vamos usar a desigualdade que relaciona a norma de uma transformação linear
com a norma do vetor:
Onde
é a norma da transformação linear
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso:
Sabemos que
. Mas para prosseguir, precisamos de mais informações sobre
, que não foram fornecidas na questão.
No entanto, se assumirmos que
(o que é comum em exercícios desse tipo para simplificação), então:
Passo 7
Portanto, a norma
será menor ou igual a aproximadamente 10.816. Observando os intervalos fornecidos nas opções, vemos que 10.816 está entre 10 e 11.
Resposta
A norma
pertence ao intervalo (K)
.
Exercícios relacionados
O ângulo entre os vetores da base canônica do
pertence a qual dos seguintes intervalos (extremos dados em radianos) ?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Nenhuma das demais opções.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Nenhuma das demais opções.
Considere os vetores
e
do
.
a) Escreva o vetor como combinação linear de
e
.
Gabarito:
a) Escreva o vetor
Gabarito:
Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço de
Gabarito:
e uma base de
é
Mostre que os pontos
e
são vértices de um triângulo retângulo e calcule sua área.