Considere os vetores v1=(2,-3,2) e v2=(-1,2,4) do R^3.
a) Escreva o vetor u=(7,-11,2) como combinação linear de v1 e v2.
Gabarito: u=3 v1-v2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente escreva o vetor u = a cdot v1 + b cdot v2 como uma combinação linear dos vetores e . Em outras palavras, precisamos encontrar números e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos expandir a equação 7 = 2a - b &(componente x) -11 = -3a + 2b &(componente y) 2 = 2a + 4b &(componente z) componente por componente:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver usando as duas primeiras equações.

Passo 3

Vamos pegar as duas primeiras equações:
2a - b = 7 &(1) -3a + 2b = -11 &(2)
Para facilitar, vamos resolver o sistema por eliminação. Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 para igualar os coeficientes de 4a - 2b = 14 (3) :
4a - 2b + (-3a + 2b) = 14 + (-11)
Agora, somamos a equação (3) com a equação (2):
a = 3
Simplificando:

Passo 4

Agora que encontramos 2(3) - b = 7 6 - b = 7 -b = 1 b = -1 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :

Passo 5

Com u = 3 cdot v1 - v2 e , podemos escrever o vetor como combinação linear de e :
Resposta Final:

Exercícios relacionados

Determine um polinômio p(x)=a x^2+b x+c tal que p(1)=-1, p(2)=5, p(-1)=7.
Sendo V um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se T: V V é um operador ortogonal então u perp v Rightarrow T(u) perp T(v).
(III) Se uma n times n matriz real A, que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então A^287=I.
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
O ângulo entre os vetores da base canônica do R^2 pertence a qual dos seguintes intervalos (extremos dados em radianos) ?
(A) [0, pi6)
(B) [pi6, pi4)
© [pi4, pi3)
(D) [pi3, pi2)
(E) [pi2, 2 pi3)
(F) [2 pi3, 3 pi4)
(G) [3 pi4, 5 pi6)
(H) [5 pi6, pi]
(I) Nenhuma das demais opções.
Se u, v, w in V são tais que (u-w) perp(v-w),|u-w|=9 e |v-w|=6, então |T(u)-T(v)| pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A) [0,1)
(B) [1,2)
© [2,3)
(D) [3,4)
(E) [4,5)
(F) [5,6)
(G) [6,7)
(H) [7,8)
(I) [8,9)
(J) [9,10)
(K) [10,11)
(L) [11,12