Considere os vetores v1=(2,-3,2) e v2=(-1,2,4) do R^3.
a) Escreva o vetor u=(7,-11,2) como combinação linear de v1 e v2.
Gabarito: u=3 v1-v2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente escreva o vetor u = a cdot v1 + b cdot v2 como uma combinação linear dos vetores e . Em outras palavras, precisamos encontrar números e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos expandir a equação 7 = 2a - b &(componente x) -11 = -3a + 2b &(componente y) 2 = 2a + 4b &(componente z) componente por componente:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver usando as duas primeiras equações.

Passo 3

Vamos pegar as duas primeiras equações:
2a - b = 7 &(1) -3a + 2b = -11 &(2)
Para facilitar, vamos resolver o sistema por eliminação. Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 para igualar os coeficientes de 4a - 2b = 14 (3) :
4a - 2b + (-3a + 2b) = 14 + (-11)
Agora, somamos a equação (3) com a equação (2):
a = 3
Simplificando:

Passo 4

Agora que encontramos 2(3) - b = 7 6 - b = 7 -b = 1 b = -1 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :

Passo 5

Com u = 3 cdot v1 - v2 e , podemos escrever o vetor como combinação linear de e :
Resposta Final:

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