a) e ;
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e e . Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a u.v.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está nos pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Na parte (b), precisamos encontrar as coordenadas do vértice de forma que os ângulos diretores de sejam agudos, com e , e que o volume do paralelepípedo formado seja igual a unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço, cálculo de volume de paralelepípedos e relações de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter ângulos diretores e para o vetor . Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor faz com os eixos coordenados , e . Vamos chamar o vetor de .
Sabemos que:
Onde é o módulo do vetor .
Passo 3
Vamos calcular o módulo do vetor . Como os ângulos são agudos, todos os componentes serão positivos.
Usando as relações dos cossenos:
Como sabemos que , podemos expressar as coordenadas de como:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar o volume do paralelepípedo com os vetores envolvidos. O volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
No nosso caso, os vetores , e podem ser representados pelos vetores , e .
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os vetores e :
Temos também o vetor .
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial :
Passo 7
Agora, o volume é dado por:
Substituindo e :
Passo 8
Precisamos ainda determinar . Note que o vetor deve satisfazer o teorema de Pitágoras no espaço tridimensional:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Substituindo na equação do volume:
Passo 10
Agora que temos , podemos encontrar as componentes do vetor :