a) e ;
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e e . Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a u.v.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está nos pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Na parte (b), precisamos encontrar as coordenadas do vértice de forma que os ângulos diretores de sejam agudos, com e , e que o volume do paralelepípedo formado seja igual a unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço, cálculo de volume de paralelepípedos e relações de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter ângulos diretores e para o vetor . Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor faz com os eixos coordenados , e . Vamos chamar o vetor de .
Sabemos que:
Onde é o módulo do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor . Como os ângulos são agudos, todos os componentes serão positivos.
Usando as relações dos cossenos:
Como sabemos que , podemos expressar as coordenadas de como:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o volume do paralelepípedo com os vetores envolvidos. O volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
No nosso caso, os vetores , e podem ser representados pelos vetores , e .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os vetores e :
Temos também o vetor .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 7

Agora, o volume é dado por:
Substituindo e :

Passo 8

Precisamos ainda determinar . Note que o vetor deve satisfazer o teorema de Pitágoras no espaço tridimensional:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 9

Substituindo na equação do volume:

Passo 10

Agora que temos , podemos encontrar as componentes do vetor :

Resposta

As coordenadas do vértice são .

Exercícios relacionados

a) e .
b) Os ângulos diretores de são . Determine o volume deste tetraedro.
  1. Sabendo que e são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BAC.
A matriz de mudança da base para uma base C ambas do mesmo subespaço de é
Determinar a base C.
Considere as funções dadas por e . Determine:
0.8
(a) O domínio de e
© O produto escalar
(b) A soma
(d) O produto vetorial