a) A(0,1,1), B(2,0,1) e C(-1,1,0);
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e alpha=60^circ e beta=45^circ. Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 4 raiz2 u.v.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está nos pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Na parte (b), precisamos encontrar as coordenadas do vértice de forma que os ângulos diretores de sejam agudos, com e , e que o volume do paralelepípedo formado seja igual a unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço, cálculo de volume de paralelepípedos e relações de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter ângulos diretores cos(alpha) = vx|v| e cos(beta) = vy|v| e para o vetor . Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor faz com os eixos coordenados , e . Vamos chamar o vetor de .
Sabemos que:
Onde é o módulo do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor vx = |v| cos(60^circ) = |v| times 12 . Como os ângulos são agudos, todos os componentes vy = |v| cos(45^circ) = |v| times raiz22 serão positivos.
Usando as relações dos cossenos:
E = (vx + 0, vy + 1, vz + 1) = (vx, vy + 1, vz + 1)
Como sabemos que , podemos expressar as coordenadas de como:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o volume do paralelepípedo com os vetores envolvidos. O volume V = |u cdot (v times w)| de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
No nosso caso, os vetores , e podem ser representados pelos vetores , e .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os vetores AB = B - A = (2-0, 0-1, 1-1) = (2, -1, 0) e AC = C - A = (-1-0, 1-1, 0-1) = (-1, 0, -1) :
Temos também o vetor .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 2 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 = i((-1)(-1) - (0)(0)) - j((2)(-1) - (0)(-1)) + k((2)(0) - (-1)(-1)) :
= i(1 - 0) - j(-2 - 0) + k(0 - 1) = i(1) + j(2) - k(1) = (1, 2, -1)

Passo 7

Agora, o volume V = |AE cdot (AB times AC)| = | v cdot (1, 2, -1) | = |vx cdot 1 + vy cdot 2 + vz cdot (-1)| = 4raiz2 é dado por:
|v|2 cdot 1 + |v|raiz22 cdot 2 + vz cdot (-1) = 4raiz2
Substituindo |v|2 + |v|raiz2 - vz = 4raiz2 e :

Passo 8

Precisamos ainda determinar |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 . Note que o vetor |v| = raiz( |v|2 )^2 + ( |v|raiz22 )^2 + vz^2 deve satisfazer o teorema de Pitágoras no espaço tridimensional:
|v| = raiz |v|^24 + 2|v|^24 + vz^2 = raiz 3|v|^24 + vz^2
|v|^2 = 3|v|^24 + vz^2
|v|^2 - 3|v|^24 = vz^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
|v|^24 = vz^2
vz = |v|2

Passo 9

Substituindo |v|2 + |v|raiz2 - |v|2 = 4raiz2 na equação do volume:
|v|raiz2 = 4raiz2
|v| = 4

Passo 10

Agora que temos vx = 42 = 2 , podemos encontrar as componentes do vetor vy = 4raiz22 = 2raiz2 :
vz = 42 = 2

Resposta

As coordenadas do vértice são .

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