1. Sabendo que e são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BAC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar um vetor que siga a direção da bissetriz do ângulo interno em (BAC). Para isso, vamos usar conceitos de vetores e bissetriz de ângulos. Vamos precisar calcular vetores que representam os lados do triângulo e aplicar a fórmula da bissetriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dos lados que formam o ângulo em . Esses vetores são e .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das de :
Já para :

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a bissetriz de um ângulo. A bissetriz interna divide o ângulo em duas partes iguais e tem uma direção que pode ser encontrada combinando os vetores dos lados com base nas suas magnitudes.
A fórmula para encontrar o vetor bissetriz do ângulo entre e é:
Mas para garantir que a bissetriz esteja na direção correta, normalizamos o vetor resultante.

Passo 4

Vamos somar os vetores e :
Esse vetor é a direção da bissetriz do ângulo interno .

Resposta

Um vetor com direção da bissetriz do ângulo BAC é .

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Seja e . Determine o vetor unitário , tal que u seja ortogonal a v e u seja ortogonal também a w.
Sejam e matrizes de . Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base .
a) e .
b) Os ângulos diretores de são . Determine o volume deste tetraedro.
a) e ;
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e e . Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a u.v.