1. Sabendo que A(0,0,0), B(2,1,-2) e C(0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BAC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar um vetor que siga a direção da bissetriz do ângulo interno em (BAC). Para isso, vamos usar conceitos de vetores e bissetriz de ângulos. Vamos precisar calcular vetores que representam os lados do triângulo e aplicar a fórmula da bissetriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dos lados que formam o ângulo em BA = B - A = (2-0, 1-0, -2-0) = (2, 1, -2) . Esses vetores são CA = C - A = (0-0, 0-0, 5-0) = (0, 0, 5) e .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das de :
Já para :

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a bissetriz de um ângulo. A bissetriz interna divide o ângulo em duas partes iguais e tem uma direção que pode ser encontrada combinando os vetores dos lados com base nas suas magnitudes.
A fórmula para encontrar o vetor bissetriz BD = BA + CA do ângulo entre e é:
Mas para garantir que a bissetriz esteja na direção correta, normalizamos o vetor resultante.

Passo 4

Vamos somar os vetores BD = BA + CA = (2, 1, -2) + (0, 0, 5) = (2+0, 1+0, -2+5) = (2, 1, 3) e :
Esse vetor é a direção da bissetriz do ângulo interno .

Resposta

Um vetor com direção da bissetriz do ângulo BAC é .

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