(2,0) Considere as funções F, G: A R^3 dadas por F(t)=(t^2+2 t, raizt^2-1, 3 t^3) e G(t)=(t, traizt^2-1, e^t). Determine:
0.8
(a) O domínio de F e G ; E
© O produto escalar F(t) cdot G(t) ; 4
(b) A soma (F+G)(t) ; psi
(d) O produto vetorial F(t) wed>= G(t) hookrightarrow

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas funções vetoriais, F(t) e G(t), que mapeiam um conjunto A para o espaço tridimensional R^3. A sua tarefa é determinar várias operações entre elas, como domínio, soma, produto escalar e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções vetoriais, domínio de funções, operações entre vetores e álgebra vetorial.

Passo 2

a) Determinar o domínio de F e G
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida. No caso das funções vetoriais F(t) e G(t), precisamos identificar os valores de t para os quais todas as componentes das funções estão bem definidas, ou seja, não resultam em operações inválidas, como raízes de números negativos ou divisões por zero.
Analisando F(t) = (t^2 + 2t, raizt^2 - 1, 3t^3):
  • A primeira componente, t^2 + 2t, está definida para todo t in R.
  • A segunda componente, raizt^2 - 1, requer que t^2 - 1 >= 0, ou seja, t^2 >= 1. Isso implica que t <= -1 ou t >= 1.
  • A terceira componente, 3t^3, também está definida para todo t in R.
Então, o domínio de F é t in (-infty, -1] cup [1, infty).
Agora, analisando G(t) = (t, traizt^2 - 1, e^t):
  • A primeira componente, t, está definida para todo t in R.
  • A segunda componente, traizt^2 - 1, requer que raizt^2 - 1 neq 0 e que t^2 - 1 > 0 para evitar divisão por zero e garantir que a raiz está definida. Assim, t <= -1 ou t >= 1.
  • A terceira componente, e^t, está definida para todo t in R.
Portanto, o domínio de G também é t in (-infty, -1] cup [1, infty).

Passo 3

b) Determinar a soma (F + G)(t)
A soma de duas funções vetoriais é feita somando componente por componente. Ou seja, se temos F(t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) e G(t) = (G1(t), G2(t), G3(t)), então:
(F + G)(t) = (F1(t) + G1(t), F2(t) + G2(t), F3(t) + G3(t))
Aplicando isso às nossas funções:
(F + G)(t) = ( (t^2 + 2t) + t, raizt^2 - 1 + traizt^2 - 1, 3t^3 + e^t )
Simplificando:
(F + G)(t) = ( t^2 + 3t, raizt^2 - 1 + traizt^2 - 1, 3t^3 + e^t )

Passo 4

c) Determinar o produto escalar F(t) cdot G(t)
O produto escalar entre duas funções vetoriais é calculado multiplicando componente por componente e somando os resultados. Se F(t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) e G(t) = (G1(t), G2(t), G3(t)), então:
F(t) cdot G(t) = F1(t) cdot G1(t) + F2(t) cdot G2(t) + F3(t) cdot G3(t)
Aplicando às nossas funções:
F(t) cdot G(t) = (t^2 + 2t) cdot t + raizt^2 - 1 cdot traizt^2 - 1 + 3t^3 cdot e^t
Simplificando cada termo:
  1. (t^2 + 2t) cdot t = t^3 + 2t^2
  2. raizt^2 - 1 cdot traizt^2 - 1 = t
  3. 3t^3 cdot e^t = 3t^3 e^t
Somando tudo:
F(t) cdot G(t) = t^3 + 2t^2 + t + 3t^3 e^t

Passo 5

d) Determinar o produto vetorial F(t) wed>= G(t)
O produto vetorial entre duas funções vetoriais resulta em um novo vetor. Para calcular o produto vetorial de F(t) = (F1, F2, F3) e G(t) = (G1, G2, G3), usamos a regra do determinante:
F wed>= G = i & j & k F1 & F2 & F3 G1 & G2 & G3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Aplicando aos nossos vetores:
F(t) wed>= G(t) = i & j & k t^2 + 2t & raizt^2 - 1 & 3t^3 t & traizt^2 - 1 & e^t
Calculando o determinante:
  • Componente i:
(raizt^2 - 1 cdot e^t) - (3t^3 cdot traizt^2 - 1) = raizt^2 - 1 e^t - 3t^4raizt^2 - 1
  • Componente j (com sinal negativo):
((t^2 + 2t) cdot e^t) - (3t^3 cdot t) = (t^2 + 2t) e^t - 3t^4
  • Componente k:
(t^2 + 2t) cdot traizt^2 - 1 - (raizt^2 - 1 cdot t) = t(t^2 + 2t)raizt^2 - 1 - t raizt^2 - 1
Então, o produto vetorial é:
F(t) wed>= G(t) = ( raizt^2 - 1 e^t - 3t^4raizt^2 - 1 ) i - ( (t^2 + 2t) e^t - 3t^4 ) j + ( t(t^2 + 2t)raizt^2 - 1 - t raizt^2 - 1 ) k

Resposta

Pronto! A seguir estão as respostas para cada item solicitado:
a) O domínio de F e G é t in (-infty, -1] cup [1, infty).
b) A soma das funções vetoriais é (F + G)(t) = ( t^2 + 3t, raizt^2 - 1 + traizt^2 - 1, 3t^3 + e^t ).
c) O produto escalar é F(t) cdot G(t) = t^3 + 2t^2 + t + 3t^3 e^t.
d) O produto vetorial é
F(t) wed>= G(t) = ( raizt^2 - 1 e^t - 3t^4raizt^2 - 1 ) i - ( (t^2 + 2t) e^t - 3t^4 ) j + ( t(t^2 + 2t)raizt^2 - 1 - t raizt^2 - 1 ) k

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