Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas funções vetoriais, e , que mapeiam um conjunto para o espaço tridimensional . A sua tarefa é determinar várias operações entre elas, como domínio, soma, produto escalar e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções vetoriais, domínio de funções, operações entre vetores e álgebra vetorial.
Passo 2
a) Determinar o domínio de e
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida. No caso das funções vetoriais e , precisamos identificar os valores de para os quais todas as componentes das funções estão bem definidas, ou seja, não resultam em operações inválidas, como raízes de números negativos ou divisões por zero.
Analisando :
A primeira componente, , está definida para todo .
A segunda componente, , requer que , ou seja, . Isso implica que ou .
A terceira componente, , também está definida para todo .
Então, o domínio de é .
Agora, analisando :
A primeira componente, , está definida para todo .
A segunda componente, , requer que e que para evitar divisão por zero e garantir que a raiz está definida. Assim, ou .
A terceira componente, , está definida para todo .
Portanto, o domínio de também é .
Passo 3
b) Determinar a soma
A soma de duas funções vetoriais é feita somando componente por componente. Ou seja, se temos e , então:
Aplicando isso às nossas funções:
Simplificando:
Passo 4
c) Determinar o produto escalar
O produto escalar entre duas funções vetoriais é calculado multiplicando componente por componente e somando os resultados. Se e , então:
Aplicando às nossas funções:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
d) Determinar o produto vetorial
O produto vetorial entre duas funções vetoriais resulta em um novo vetor. Para calcular o produto vetorial de e , usamos a regra do determinante:
Onde , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Aplicando aos nossos vetores:
Calculando o determinante:
Componente :
Componente (com sinal negativo):
Componente :
Então, o produto vetorial é:
Resposta
Pronto! A seguir estão as respostas para cada item solicitado: